حساب طول ضلع فيثاغورس في مثلث قائم

في المستوى الذي يحدده المحورين $x$ و $y$، هناك مثلث قائم ABC حيث زاوية $B$ تساوي $90$ درجة. إذا كانت طول الضلع $AC$ يساوي $25$ وكان ميل القطعة الخطية $AC$ هو $\frac{4}{3}$، فما هو طول الضلع $AB$؟

لحساب طول الضلع $AB$، يمكننا استخدام ميل القطعة الخطية $AC$ لحساب الزاوية بين القطعة والمحور الأفقي $x$، ثم استخدام هذه المعلومات لحساب طول الضلع $AB$ باستخدام النسب الزائدة.

لحساب الميل $m$، نستخدم العلاقة:

$m = \frac{\text{ارتفاع الثلاثية}}{\text{قاعدة الثلاثية}}$

إذاً:

$\frac{4}{3} = \frac{\text{ارتفاع الثلاثية}}{AB}$

من هنا، يمكننا حساب ارتفاع الثلاثية بضرب ميلها في طول القاعدة:

$\text{ارتفاع الثلاثية} = \frac{4}{3} \times AB$

الآن، لدينا معلومات كافية لاستخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الضلع $AB$. إذا كانت طول الضلع $AC$ هي الضلع الوتر، وكان $BC$ هو القاعدة (التي تكون متوازية للمحور $x$)، وكان $AB$ هو الضلع العمودي (الارتفاع)، فإن المعادلة تصبح:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

باستخدام القيم المعطاة:

$25^2 = \left(\frac{4}{3} \times AB\right)^2 + BC^2$

نقوم بحساب قيمة $AB$ من هذه المعادلة. بعد ذلك، يمكننا استخدام $AB$ لحساب الارتفاع بواسطة العلاقة التي استخدمناها في البداية:

$\text{ارتفاع الثلاثية} = \frac{4}{3} \times AB$

بهذا نحصل على طول الضلع $AB$ في المثلث.

لحل هذه المسألة، سنستخدم القوانين الهندسية والرياضية، بما في ذلك ميل الخط وقانون فيثاغورس.

لنبدأ بحساب ميل القطعة الخطية $AC$، والتي يمكن حسابها باستخدام العلاقة بين الميل والزاوية:

$m = \frac{\text{الزاوية المقابلة للقطعة}}{\text{الزاوية المستقيمة}}$

في هذه الحالة، الزاوية المستقيمة هي $90^\circ$ (لأن $B$ هي زاوية قائمة)، والزاوية المقابلة للقطعة $AC$ هي الزاوية $A$، لذلك:

$m = \frac{\angle A}{90^\circ}$

ونعلم أن $m = \frac{4}{3}$، لذا:

$\frac{4}{3} = \frac{\angle A}{90^\circ}$

نحسب قيمة $\angle A$ عن طريق ضرب كل جانب في $90^\circ$، ونحصل على $\angle A = \frac{4}{3} \times 90^\circ = 120^\circ$.

الآن، نستخدم القانون الأساسي للمثلث القائم ($ABC$) وهو قانون فيثاغورس لحساب طول الضلع $AB$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

وبما أننا نعلم $AC = 25$، نستخدمها في المعادلة:

$25^2 = AB^2 + BC^2$

نعلم أن $BC$ هو القاعدة وهو متوازي للمحور $x$، لذلك $BC$ هو الفرق بين قيمة $x$ للنقطتين $A$ و$C$. إذاً:

$BC = x_C – x_A$

ومن ميل القطعة $AC$ نعلم أن:

$m = \frac{\text{ارتفاع الثلاثية}}{\text{قاعدة الثلاثية}}$

وباستخدام معلومات النقاط $A$ و $C$، نعلم أن القاعدة هي $BC$ والارتفاع هو فارق القيمة بين $y_C$ و $y_A$، لذا:

$m = \frac{y_C – y_A}{BC}$

نستخدم هذه المعلومات لحساب قيمة $BC$.

بعد ذلك، نستخدم قيمة $BC$ في المعادلة الأولى لحساب قيمة $AB$.

القوانين المستخدمة:

1. قانون فيثاغورس: $c^2 = a^2 + b^2$
2. ميل القطعة الخطية: $m = \frac{\text{تغيير الارتفاع}}{\text{تغيير القاعدة}}$

تم استخدام هذه القوانين لحساب زاوية المثلث وبعدها استخدمنا قانون فيثاغورس لحساب طول الضلع $AB$.