حساب طول القطر في متوازي الرباعي (مسألة رياضيات)

في المتوازي الرباعي $ABCD$، طول الضلعين $\overline{AB}$ و$\overline{BC}$ يبلغ 10 وطول الضلعين $\overline{CD}$ و$\overline{DA}$ يبلغ 17، وزاوية $ADC$ تبلغ $60^\circ$. ما هو طول القطر $\overline{AC}$؟

الحل:

لحل هذه المسألة، دعونا نستخدم القوانين الهندسية والتحليل الزاوي للمتوازي الرباعي.

أولاً، لدينا زاوية $ADC$ التي تساوي $60^\circ$، ونعلم أن مجموع زوايا المثلث هو $180^\circ$، لذا زاوية $ACD$ تكون $180^\circ – 60^\circ = 120^\circ$.

الآن، نستخدم قانون الجيب في المثلث $ACD$ لحساب طول الضلع $\overline{AC}$. القانون يعطينا:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 – 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(ACD)$

نعوض القيم المعروفة:

$AC^2 = 17^2 + 17^2 – 2 \cdot 17 \cdot 17 \cdot \cos(120^\circ)$

$AC^2 = 289 + 289 – 2 \cdot 17 \cdot 17 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$AC^2 = 578 + 289$

$AC^2 = 867$

الآن، نأخذ الجذر التربيعي للحصول على طول القطر $\overline{AC}$:

$AC = \sqrt{867}$

$AC \approx 29.41$

إذاً، طول القطر $\overline{AC}$ يقترب من 29.41 وحدة.

بالطبع، دعنا نستكشف تفاصيل أكثر لحل هذه المسألة ونُذكِّر بالقوانين المستخدمة.

المسألة تتعلق بمتوازي الرباعي $ABCD$، حيث نعلم أن طول الضلعين $\overline{AB}$ و$\overline{BC}$ هما 10، وطول الضلعين $\overline{CD}$ و$\overline{DA}$ هما 17، وأيضًا نُعطى أن زاوية $ADC$ تبلغ $60^\circ$.

الحل يستند إلى استخدام قانون الجيب في المثلث $ACD$. قانون الجيب يُعبر عن العلاقة بين طول الضلع والزوايا والضلوع الأخرى في مثلث. للمثلث $ACD$، يكون قانون الجيب كالتالي:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 – 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(ACD)$

حيث:

• $AC$ هو طول الضلع الذي نريد حسابه.
• $AD$ و $CD$ هما طولا الضلعين المعروفين.
• $\cos(ACD)$ هو جيب الزاوية $ACD$.

في هذا السياق، قد حلنا المعادلة باستخدام قيم محددة:

$AC^2 = 17^2 + 17^2 – 2 \cdot 17 \cdot 17 \cdot \cos(120^\circ)$

حيث قمنا بتبسيط العبارة لتصبح:

$AC^2 = 867$

ثم قمنا بسحب الجذر التربيعي للحصول على طول الضلع $\overline{AC}$:

$AC \approx \sqrt{867} \approx 29.41$

هذا هو الحل ببساطة. يجمع الحل بين استخدام قانون الجيب لحساب طول الضلع واستخدام المفهوم الهندسي للزوايا في المتوازي الرباعي.