حساب طول القطر في الهكساغون النظام (مسألة رياضيات)

نعتذر عن الالتزام بتوجيهات الصيغ المعتادة، ولكن سنقدم الحلاً باللغة العربية مع التفصيل المطلوب:

نعلم أن الهكساغون النظام هو مضلع له جميع زواياه وأضلاعه متساوية الطول. في هذا السياق، لدينا هكساغون $ABCDEF$، حيث يتمثل $AB$ في طول الضلع ويساوي 10 وفقاً للمعطيات.

لحساب طول القطر $AD$، نقوم برسم خط من الرأس $A$ إلى الرأس المقابل $D$. هذا القطر يقسم الهكساغون إلى مثلثين متطابقين. يمكننا أن نرى أن كل مثلث قائم الزاوية بفعل زاوية الهكساغون الداخلية المركزية.

بما أن طول الضلع $AB$ هو 10، يمكننا استخدام نصف القطر لحساب الضلع الآخر من المثلث. إذاً، نصف القطر يكون $5$.

الآن نستخدم مفهوم المثلث القائم الزاوي لحساب الجهة المجاورة للزاوية القائمة. نستخدم مبرهنة فيثاغورس للحصول على الجهة المجاورة:

$\text{الضلع المجاور} = \sqrt{(\text{القطر})^2 – (\text{الضلع المقابل})^2}$
$= \sqrt{5^2 – 3^2}$
$= \sqrt{25 – 9}$
$= \sqrt{16}$
$= 4$

الآن، بما أن لدينا طول الضلع المجاور، يمكننا حساب القطر الآخر بالضرب في 2، حيث إن القطر يمتد من جهة واحدة إلى الأخرى في المثلث. إذاً، القطر $AD$ يكون:

$AD = 2 \times \text{الضلع المجاور} = 2 \times 4 = 8$

لذا، طول القطر $AD$ هو 8 ويمكن تعبيره بأبسط صورة رياضية على أنه يساوي $8$.

بالطبع، سنقدم تفاصيل إضافية لحل المسألة وسنذكر القوانين المستخدمة.

الهدف من هذه المسألة هو حساب طول القطر $AD$ في الهكساغون النظام المعطى. نتبع الخطوات التالية:

1. تحديد المعلومات المعطاة:

   • الهكساغون $ABCDEF$ هو نظام، والضلع $AB$ له طول 10.

2. استخدام مبرهنة فيثاغورس:

   • نقوم برسم القطر $AD$ ونتجاهل الزاوية المركزية في هذا السياق. يتكون المثلث $ABD$ الناتج من القطر من زاوية قائمة في $D$.
   • نستخدم مبرهنة فيثاغورس للمثلث القائم الزاوي لحساب الضلع المجاور للزاوية القائمة.

3. تحديد الضلع المجاور:

   • نصف القطر (الضلع المجاور للزاوية القائمة) يكون نصف طول الضلع $AB$، أي $5$.

4. حساب الضلع المقابل:

   • نستخدم مبرهنة فيثاغورس لحساب الضلع المقابل للزاوية القائمة:
     $\text{الضلع المقابل} = \sqrt{(\text{القطر})^2 – (\text{الضلع المجاور})^2}$
     $= \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{16} = 4$

5. حساب طول القطر:

   • الآن، بما أننا حصلنا على الضلع المقابل، يمكننا حساب القطر بضرب الضلع المقابل في 2.
     $AD = 2 \times \text{الضلع المقابل} = 2 \times 4 = 8$

بالتالي، طول القطر $AD$ هو 8 ويمكن تعبيره بأبسط صورة رياضية على أنه يساوي $8$. القوانين المستخدمة هي مبرهنة فيثاغورس لحساب طول الضلع المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم الزاوي.