حساب طول الضلع في مثلث قائم (مسألة رياضيات)

نريد حساب قيمة $XY$ في المثلث المعطى. نلاحظ أن المثلث $XYZ$ قائم الزاوية في $Z$، حيث أن زاوية $Z$ تساوي $90^\circ$ بموجب خاصية المثلث القائم الزاوية. لذا، يمكننا استخدام دالة الجيب لحساب قيمة الضلع $XY$.

نعلم أن الجيب لزاوية $45^\circ$ يساوي $1$، والجيب هو نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة). بما أن الزاوية المقابلة للضلع $XY$ هي $45^\circ$، فإن الجيب لهذه الزاوية هو $1$.

نعرف أيضًا أن طول الوتر يساوي $12\sqrt{2}$ وهو الضلع المتواجه للزاوية القائمة. بما أن الجيب يعبر عن نسبة طول الضلع المقابل للزاوية إلى طول الوتر، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

باستخدام القيم المعطاة، نحصل على:

لحل المعادلة للحصول على قيمة $XY$، نضرب الوتر في كلتا الجانبين للمعادلة:

لذا، قيمة $XY$ في المثلث المعطى هي $12\sqrt{2}$.

لحل المسألة وحساب قيمة $XY$ في المثلث المعطى، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الهندسية. هذه القوانين تشمل:

1. قانون الجيب (Sine Law):
   قانون يُستخدم في المثلثات لحساب النسب بين طولين من الأضلاع وزوايا معينة في المثلث. يُعبر عنه بالصيغة:

   $$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$$

   حيث أن $a$ و $b$ و $c$ هي الأطوال المقابلة للزوايا $A$ و $B$ و $C$ على التوالي.

2. قوانين المثلثات القائمة:

   • في المثلث القائم الزاوية، نجد أن:
     • في القطعة المقابلة لزاوية ال $90^\circ$، يُسمى الضلع الأطول “الوتر”.
     • يمكن استخدام نسبة الجيب لحساب الأضلاع في المثلث.

الآن، لحل المسألة:

نظرًا لأن المثلث $XYZ$ قائم الزاوية في $Z$ والزاوية $Z$ تساوي $90^\circ$، نعلم أن الجيب لزاوية $45^\circ$ في المثلث يساوي $1$ (حسب التعريفات الهندسية).

الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) معروف بأنه $12\sqrt{2}$.

لذا، نستخدم قانون الجيب للحصول على قيمة $XY$.
نكتب:

حيث أن الجيب لزاوية $45^\circ$ يساوي $1$.

من هنا نحسب قيمة $XY$ بالضرب:

لذا، قيمة $XY$ في المثلث المعطى هي $12\sqrt{2}$.

هذا هو الحل الكامل للمسألة مع استخدام القوانين الهندسية المذكورة.