حساب طول الضلع الثالث في مثلث معروف (مسألة رياضيات)

نعطي مثلثًا لديه طولا لضلعين يساوي 7 و 8، وزاوية تبلغ $120^\circ$ بينهما. نحتاج إلى حساب طول الضلع الثالث.

للعثور على طول الضلع الثالث، يمكننا استخدام قانون الجيب في المثلثات. ينص القانون على أنه في مثلث، جيب أحد الزوايا يساوي مقسوما على طول الضلع المقابل له مقسومًا على طول الضلع المقابل للزاوية الثانية.

لذلك، لنجد الضلع الثالث، نستخدم العلاقة التالية:

$\frac{\text{الضلع الثالث}}{\sin(\text{الزاوية المقابلة للضلع الثالث})} = \frac{\text{أحد الأضلاع}}{\sin(\text{الزاوية المقابلة لأحد الأضلاع})}$

حيث أحد الأضلاع هو 7 والزاوية المقابلة له هي $120^\circ$، والضلع الآخر هو 8 والزاوية المقابلة له هي الزاوية الثالثة (لنلاحظ أن المثلث يتكون من زاوية $120^\circ$ وزاوية قائمة وبالتالي مجموع الزوايا يساوي $180^\circ$، لذا الزاوية الثالثة هي $180^\circ – 90^\circ – 120^\circ = 60^\circ$).

بعد حساب القيم، نضعها في العلاقة:

$\frac{x}{\sin(60^\circ)} = \frac{7}{\sin(120^\circ)}$

حيث $x$ هو الضلع الثالث الذي نريد حسابه.

نحتاج إلى معرفة قيمة $\sin(60^\circ)$ و $\sin(120^\circ)$. يمكن أن نستخدم جدول القيم القياسية لدوال الزوايا لذلك:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

الآن نقوم بحل المعادلة:

$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

نقوم بحساب القيم:

$x = \frac{7 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$x = 7$

لذا، طول الضلع الثالث هو 7.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام عدة مفاهيم وقوانين في الهندسة الرياضية. القوانين المستخدمة تشمل:

1. قانون الجيب (قانون الأضلاع المتناسبة): ينص على أن نسب الأضلاع في المثلثات المتشابهة متناسبة. يُستخدم هذا القانون لحساب الأضلاع أو الزوايا في المثلثات.

2. قانون الجيب (قانون الجيوب): يعبر عن نسبة الضلع المقابل لزاوية معينة إلى جيب تلك الزاوية.

3. جدول قيم الجيب والساين والتانجنت: يُستخدم لمعرفة قيم الدوال الرئيسية (الجيب، الساين، التانجنت) لزوايا معينة كما هو معرف في الدوائر الوحدة.

الآن، لنقم بتوضيح الخطوات بالتفصيل لحل المسألة:

1. تحديد المعلومات المعطاة: نعرف أن لدينا مثلث مع ضلعين معروفين هما 7 و 8 وزاوية بينهما تساوي $120^\circ$.

2. تحديد الهدف: الهدف هو حساب الضلع الثالث من المثلث.

3. استخدام قانون الجيب: نستخدم قانون الجيب لحساب الضلع الثالث باستخدام معرفتنا بالضلوع المعروفة والزوايا المقابلة.

4. تحديد الزوايا: نعرف أن المثلث يتكون من زوايا بمجموعها $180^\circ$. بالتالي، نحتاج إلى حساب الزاوية الثالثة. لنقوم بذلك، نستخدم العلاقة: زاوية ثالثة = $180^\circ – 90^\circ – 120^\circ = 60^\circ$.

5. حساب الجيبات: نحسب الجيبات المطلوبة للزوايا المعطاة، وهي $\sin(60^\circ)$ و $\sin(120^\circ)$. من جدول القيم، نجد أنهما يساويان $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6. تطبيق قانون الجيب: نستخدم الجيبات لحساب الضلع الثالث باستخدام العلاقة:
   $\frac{\text{الضلع الثالث}}{\sin(\text{الزاوية المقابلة للضلع الثالث})} = \frac{\text{أحد الأضلاع}}{\sin(\text{الزاوية المقابلة لأحد الأضلاع})}$

7. حل المعادلة للضلع الثالث: نستخدم القيم المعطاة لحساب قيمة الضلع الثالث.

8. تحديد النتيجة: بعد الحساب، نجد أن طول الضلع الثالث هو 7.

باختصار، نستخدم المفاهيم الهندسية والرياضية المذكورة أعلاه لحساب الضلع الثالث في المثلث المعطى. يُعتبر هذا النوع من الحسابات جزءًا أساسيًا من دراسة الهندسة والرياضيات ويستخدم في حل العديد من المشكلات الواقعية والنظرية.