حساب طرق اختيار رئيس ولجنة (مسألة رياضيات)

يتعلق السؤال بكمية الطرق الممكنة لاختيار رئيس ولجنة مكونة من شخصين من بين مجموعة تتألف من 8 أشخاص، حيث لا يمكن للرئيس أن يكون عضوًا في اللجنة ولا يهم ترتيب اختيار الأشخاص الاثنين في اللجنة.

لحساب عدد الطرق الممكنة، نستخدم مبدأ الجمع والضرب. لأن عملية اختيار الرئيس واللجنة تتأثر باثنين من العمليات، أي اختيار الرئيس واختيار اللجنة، نستخدم الضرب لحساب عدد الطرق.

للرئيس يوجد 8 خيارات لأن هناك 8 أشخاص. بعد اختيار الرئيس، نحتاج إلى اختيار لجنة من 2 شخص. عدد الطرق لاختيار اللجنة يحسب بمساعدة مبدأ الجمع والضرب، وهو يكون بالشكل التالي:

$\text{عدد الطرق لاختيار اللجنة} = \binom{7}{2}$

حيث $\binom{7}{2}$ يمثل التركيبة أو الجمعية من 7 عناصر مختلفة بمجموعات من 2، وهي تحسب بالصيغة:

$\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

حيث $n!$ تعني عامل الضرب من 1 إلى n. إذاً:

$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

الآن، بعد أن قمنا بحساب عدد الطرق لاختيار الرئيس واللجنة، نستخدم مبدأ الضرب لحساب الإجمال، وهو:

$\text{الإجمال} = \text{عدد الطرق لاختيار الرئيس} \times \text{عدد الطرق لاختيار اللجنة}$

$\text{الإجمال} = 8 \times 21 = 168$

إذاً، هناك 168 طريقة مختلفة لاختيار رئيس ولجنة مكونة من شخصين من بين مجموعة من 8 أشخاص.

بالطبع، دعوني أقدم لك تفاصيل أكثر حول حل المسألة والقوانين المستخدمة.

المسألة:
نريد حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار رئيس ولجنة مكونة من شخصين من بين مجموعة من 8 أشخاص، حيث يجب أن لا يكون الرئيس عضوًا في اللجنة.

القوانين المستخدمة:

1. مبدأ الضرب:
   يستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لتحقيق سلسلة من الأحداث المتسلسلة. في هذه المسألة، استخدمنا مبدأ الضرب لحساب عدد الطرق لاختيار الرئيس واللجنة.

2. مبدأ الجمع والضرب:
   يستخدم لحساب عدد الطرق الممكنة لمجموعة من الأحداث المتنوعة. في هذه المسألة، استخدمنا مبدأ الجمع والضرب معًا. الجزء الأول هو اختيار الرئيس، والجزء الثاني هو اختيار اللجنة.

3. التركيبة (Combination):
   يستخدم لحساب عدد الطرق لاختيار مجموعة محددة من العناصر من بين مجموعة أكبر. في هذه المسألة، استخدمنا التركيبة لحساب عدد الطرق لاختيار اللجنة.

الحل:

1. اختيار الرئيس:
   هناك 8 أشخاص للاختيار من بينهم لتولي منصب الرئيس.

2. اختيار اللجنة:
   نحتاج إلى اختيار لجنة من 2 شخص، وهو حيث استخدمنا التركيبة (Combination).
   $\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. الإجمال:
   الآن نستخدم مبدأ الضرب لحساب الإجمال:
   $\text{الإجمال} = \text{عدد الطرق لاختيار الرئيس} \times \text{عدد الطرق لاختيار اللجنة}$
   $\text{الإجمال} = 8 \times 21 = 168$

إذاً، هناك 168 طريقة مختلفة لاختيار رئيس ولجنة مكونة من شخصين من بين مجموعة من 8 أشخاص.

الختام:
في هذا الحل، استخدمنا مبدأ الضرب ومبدأ الجمع والضرب معًا لحساب عدد الطرق الممكنة. أيضًا، قمنا باستخدام التركيبة (Combination) لحساب عدد الطرق لاختيار اللجنة. يتيح لنا هذا النهج فهم الطريقة التي يتم بها حساب هذه المشكلة والتحكم في العمليات المتسلسلة والمتنوعة للوصول إلى الإجابة النهائية.