حساب سعر زيت أسطوانة Y الممتلئة (مسألة رياضيات)

أسطوانتي الزيت X وY هما أسطوانتان دائريتان الشكل، وارتفاع وشعاع Y يكونان مضاعفين لارتفاع وشعاع X. إذا كان الزيت في أسطوانة X ممتلئًا بالكامل ويباع بسعر 2 دولار، فما هو سعر الزيت في أسطوانة Y إذا كانت مملوءة إلى نصف طاقتها؟

لنعرف الآن كيف نحسب هذا السعر. لنبدأ بتحديد العلاقة بين حجم الزيت في الأسطوانتين.

حجم الأسطوانة = π × (الشعاع)² × (الارتفاع)

للأسطوانة X:
حجم X = π × (r₁)² × (h₁)

للأسطوانة Y:
حجم Y = π × (r₂)² × (h₂)

ونعلم أن r₂ = 4 × r₁ و h₂ = 4 × h₁، لأن ارتفاع وشعاع Y يكونان مضاعفين لارتفاع وشعاع X.

الآن، للوصول إلى الحجم الممتلئ للأسطوانة Y، نقوم بضرب حجمها بنصفها، لأن السؤال يطلب السعر عندما تكون مملوءة إلى نصف طاقتها.

الحجم المملوء للأسطوانة Y = (1/2) × حجم Y

الآن، نقوم بحساب الحجم بالتعويض في المعادلة:
(1/2) × π × (4r₁)² × (4h₁)

نقوم بتبسيط هذا الشكل، ونحسب الحجم بشكل نهائي.

الحجم المملوء للأسطوانة Y = 32 × π × (r₁)² × (h₁)

الآن، لأن زيت X يُباع بسعر 2 دولار، فإن الزيت في أسطوانة Y سيباع بنفس السعر لكل وحدة حجم. لذا، سعر الزيت في أسطوانة Y المملوءة إلى نصف طاقتها يكون:
2 دولار × 32 × π × (r₁)² × (h₁)

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون حجم الأسطوانة الدائرية ونستنتج العلاقة بين الأسطوانتين X وY. ثم سنقوم بحساب حجم الأسطوانة Y عندما تكون مملوءة إلى نصف طاقتها. أخيرًا، سنحسب السعر المطلوب.

القوانين المستخدمة:

1. حجم الأسطوانة الدائرية:
   $V = π \times (الشعاع)² \times (الارتفاع)$

2. العلاقة بين X وY:
   $r₂ = 4 \times r₁$
   $h₂ = 4 \times h₁$

3. حجم الأسطوانة Y ممتلئة إلى نصف طاقتها:
   $V_{ممتلء Y} = \frac{1}{2} \times V_Y$
   $V_{ممتلء Y} = \frac{1}{2} \times π \times (4r₁)² \times (4h₁)$

4. حساب السعر:
   $السعر = سعر X \times حجم X$

الحل:

نستخدم العلاقة بين X وY لتحديد الأبعاد الجديدة للأسطوانة Y:
$r₂ = 4 \times r₁$
$h₂ = 4 \times h₁$

نعرف أن حجم الأسطوانة Y يُحسب بواسطة:
$V_Y = π \times (r₂)² \times (h₂)$

نقوم بتعويض القيم المعروفة:
$V_Y = π \times (4r₁)² \times (4h₁)$

الآن، نحسب الحجم الممتلء للأسطوانة Y إلى نصف طاقتها:
$V_{ممتلء Y} = \frac{1}{2} \times V_Y$

$V_{ممتلء Y} = \frac{1}{2} \times π \times (4r₁)² \times (4h₁)$

نحسب هذا الشكل ونقوم بالتبسيط للحصول على القيمة النهائية لحجم Y الممتلء.

أخيرًا، نقوم بحساب السعر عندما يكون الزيت في أسطوانة Y مملوءًا إلى نصف طاقتها:
$السعر = سعر X \times حجم X$

$السعر = 2 دولار \times حجم X$

نقوم بتعويض قيمة حجم X ونقوم بالحساب النهائي.