حساب سطح كرة مع أسطوانة

سطح كرة متساوي مع سطح أسطوانة دائرية صحيحة حيث يكون ارتفاع الأسطوانة وقطرها يساويان 14 سم. إيجاد شعاع الكرة.

للحل:
مع البداية، نعلم أن السطح الكروي للكرة يُعبَّر عنه بالصيغة: $A_{\text{كرة}} = 4\pi r^2$.
ونعلم أيضًا أن السطح الجانبي للأسطوانة يُعبَّر عنه بالصيغة: $A_{\text{أسطوانة}} = 2\pi r_{\text{أسطوانة}} h_{\text{أسطوانة}}$.

وحيث أن الارتفاع والقطر للأسطوانة متساويان (14 سم)، فإننا نستخدم القطر كارتفاع. إذاً: $h_{\text{أسطوانة}} = d_{\text{أسطوانة}} = 14 \, \text{سم}$.

لكن علينا العثور على شعاع الأسطوانة (وبالتالي شعاع الكرة)، وللقيام بذلك، نستخدم العلاقة بين قطر الأسطوانة وشعاع الأسطوانة: $r_{\text{أسطوانة}} = \frac{d_{\text{أسطوانة}}}{2}$.

بما أن $d_{\text{أسطوانة}} = 14 \, \text{سم}$، فإن $r_{\text{أسطوانة}} = \frac{14}{2} = 7 \, \text{سم}$.

الآن، نستخدم هذا القيمة لحساب سطح الكرة:
$A_{\text{كرة}} = 4\pi r^2$
$A_{\text{كرة}} = 4\pi (7)^2$
$A_{\text{كرة}} = 4\pi \times 49$
$A_{\text{كرة}} = 196\pi \, \text{سم}^2$

إذاً، سطح الكرة يكون مساويًا لـ $196\pi \, \text{سم}^2$.

بالطبع، سنستخدم في هذا الحل قوانين هندسية معينة ونقوم بتفصيل الخطوات لفهم العملية بشكل أفضل.

المعطيات:

• $A_{\text{كرة}} = 4\pi r^2$
• $A_{\text{أسطوانة}} = 2\pi r_{\text{أسطوانة}} h_{\text{أسطوانة}}$
• $h_{\text{أسطوانة}} = d_{\text{أسطوانة}} = 14 \, \text{سم}$
• $r_{\text{أسطوانة}} = \frac{d_{\text{أسطوانة}}}{2} = 7 \, \text{سم}$

خطوات الحل:

1. حساب سطح الكرة:
   $A_{\text{كرة}} = 4\pi r^2$
   $A_{\text{كرة}} = 4\pi (7)^2$
   $A_{\text{كرة}} = 4\pi \times 49$
   $A_{\text{كرة}} = 196\pi \, \text{سم}^2$

2. تفسير القوانين المستخدمة:

   • قانون سطح الكرة: يتمثل في $A_{\text{كرة}} = 4\pi r^2$ حيث $r$ هو شعاع الكرة.
   • قانون سطح الأسطوانة: يتمثل في $A_{\text{أسطوانة}} = 2\pi r_{\text{أسطوانة}} h_{\text{أسطوانة}}$ حيث $r_{\text{أسطوانة}}$ هو شعاع الأسطوانة و$h_{\text{أسطوانة}}$ هو ارتفاعها.

3. تحديد القيم:

   • $r_{\text{أسطوانة}} = 7 \, \text{سم}$ بناءً على القطر المعطى للأسطوانة.

4. حل المعادلات:

   • استخدمنا قيمة $r_{\text{أسطوانة}}$ لحساب $A_{\text{كرة}}$.

5. الإجابة:

   • السطح الكروي للكرة يكون مساويًا لـ $196\pi \, \text{سم}^2$.

باختصار، في هذا الحل استخدمنا قوانين هندسية لحساب سطح الكرة واعتبرنا الأسطوانة كوسيلة للعثور على شعاع الكرة.