حساب سرعة القطار المتجاوز بالتفصيل

قطار طوله 100 متر يمرّ برجل يجري بسرعة 5 كيلومتر في الساعة في نفس الاتجاه الذي يتجه إليه القطار، وذلك في مدة 10 ثوانٍ. ما هي سرعة القطار؟

لحسن فهم الموقف، نعلم أن الرجل يجري بسرعة 5 كيلومتر في الساعة، وبما أن القطار يتجه في نفس الاتجاه، يؤثر ذلك على النسبة الزمنية بينهما. لحساب سرعة القطار، يمكننا استخدام معادلة السرعة المتناسبة.

لنحل المسألة، نستخدم العلاقة التالية:

$\text{سرعة القطار} = \text{سرعة الرجل} + \text{الزمنة}$

حيث أن الزمنة هو الزمن الإضافي الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل. الزمنة يمكن حسابه باستخدام العلاقة:

$\text{الزمنة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الفارق في السرعات}}$

في هذه الحالة، المسافة هي طول القطار (100 متر) والفارق في السرعات هو فارق سرعة القطار والرجل. بما أنهما يتحركان في نفس الاتجاه، يكون الفارق في السرعات هو الفارق بين سرعة القطار وسرعة الرجل.

$\text{الفارق في السرعات} = \text{سرعة القطار} – \text{سرعة الرجل}$

الآن يمكننا حساب الزمنة واستخدامها لحساب سرعة القطار:

$\text{الزمنة} = \frac{100}{\text{سرعة القطار} – 5}$

وبعد ذلك، نستخدم الزمنة في المعادلة الأولى:

$\text{سرعة القطار} = 5 + \frac{100}{\text{سرعة القطار} – 5}$

الآن يمكن حل هذه المعادلة للوصول إلى قيمة سرعة القطار.

لحسن فهم التفاصيل الكاملة لحل المسألة، سنقوم بالتحليل خطوة بخطوة باستخدام القوانين والمفاهيم الفيزيائية المناسبة.

المعلومات المعطاة:

• طول القطار: $100$ متر.
• سرعة الرجل: $5$ كيلومتر في الساعة.

نبدأ بحساب الزمنة ($t$) الذي يحتاجه القطار لتجاوز الرجل. نستخدم العلاقة:

$\text{الزمنة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الفارق في السرعات}}$

حيث أن الفارق في السرعات هو الفارق بين سرعة القطار ($v_{\text{قطار}}$) وسرعة الرجل ($v_{\text{رجل}}$)، أي:

$\text{الفارق في السرعات} = v_{\text{قطار}} – v_{\text{رجل}}$

وبما أن السرعة تقاس بالمتر في الثانية، نحول سرعة القطار من كيلومتر في الساعة إلى متر في الثانية عبر العلاقة:

$\text{سرعة (متر/ثانية)} = \frac{\text{سرعة (كم/ساعة)}}{3.6}$

الآن يمكن حساب الزمنة:

$t = \frac{100}{\left( \frac{v_{\text{قطار}}}{3.6} – 5 \right)}$

بعد الحصول على قيمة الزمنة ($t$), يمكن استخدامها في معادلة السرعة للقطار:

$v_{\text{قطار}} = v_{\text{رجل}} + \frac{100}{t}$

بهذا يكون لدينا نظام معادلات يمكن حله للوصول إلى قيمة سرعة القطار. يمكن حساب الناتج باستخدام أساليب حل المعادلات الرياضية، مثل تجريب القيم المختلفة أو استخدام الجذور والمعادلات التفاضلية.