حساب سرعة التيار في السباحة (مسألة رياضيات)

الرجل يستطيع السباحة في المياه الهادئة بسرعة 12 كم/س، ولكن يستغرق ضعف الوقت للسباحة عكس تيار النهر مقارنة بالسباحة وفق اتجاه التيار. ما هي سرعة التيار؟

الحلاقة بسيطة. لنمثل سرعة الرجل في المياه الهادئة بـ V، وسرعة التيار بـ S. يكون وقت الرجل للسباحة في اتجاه التيار (downstream) هو الوقت اللازم للسباحة في اتجاه عكس التيار (upstream) ضربه في 2.

للسباحة downstream، يكون السرعة النهائية للرجل تكون V + S، وللسباحة upstream، تكون السرعة النهائية تكون V – S.

لنستخدم المعادلة الزمنية: الوقت = المسافة / السرعة

لذا، الوقت اللازم للسباحة downstream هو الوقت اللازم للسباحة upstream ضربه في 2. يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$\frac{d}{V + S} = 2 \times \frac{d}{V – S}$

نقوم بتبسيط المعادلة:

$\frac{1}{V + S} = \frac{2}{V – S}$

نقوم بضرب الطرفين في (V + S) × (V – S) للتخلص من المقام:

$V – S = 2(V + S)$

نفكك الأقواس:

$V – S = 2V + 2S$

ننقل كل المصطلحات ذات الـ V إلى جهة واحدة وذلك للتسهيل:

$-3V = 3S$

نقسم على -3:

$V = -S$

لكننا نعلم أن سرعة الرجل في المياه الهادئة هي $V = 12$ كم/س، لذا نعوض قيمة V في المعادلة:

$12 = -S$

نضرب في -1 للتخلص من السالب:

$S = -12$

ولكن السرعة لا يمكن أن تكون سالبة، لذلك يجب أن يكون هناك خطأ في الاعتبارات السابقة.

لحسن الحظ، هناك خطأ في المعادلة الأصلية. يتوجب علينا إعادة النظر في الوقت والسرعة، لنقم بذلك.

لنكن $t_1$ هو الوقت المستغرق للسباحة downstream و $t_2$ هو الوقت المستغرق للسباحة upstream.

للسباحة downstream:

$t_1 = \frac{d}{V + S}$

للسباحة upstream:

$t_2 = \frac{d}{V – S}$

الآن نعلم أن $t_2$ يساوي ضعف $t_1$:

$2t_1 = \frac{d}{V – S}$

نقوم بتبسيط المعادلة:

$2\frac{d}{V + S} = \frac{d}{V – S}$

نقوم بضرب الطرفين في (V + S) × (V – S):

$2(V – S) = V + S$

نفكك الأقواس:

$2V – 2S = V + S$

نجمع مصطلحات الـ V في جهة واحدة ومصطلحات الـ S في جهة واحدة:

$V = 3S$

الآن نعوض في المعادلة الأصلية:

$12 = 3S + S$

نجمع المصطلحات ذات الـ S:

$12 = 4S$

نقسم على 4:

$S = 3$

لذا، سرعة التيار هي 3 كم/س.

حل المسألة:

في هذه المسألة، نقوم بحساب سرعة التيار ($S$) باستخدام العلاقة بين الزمن الذي يحتاجه الشخص للسباحة في اتجاه التيار ($t_1$) والزمن الذي يحتاجه للسباحة عكس اتجاه التيار ($t_2$). القانون الذي يستخدم هو قانون السرعة والمسافة، الذي يتبع العلاقة التالية:

$\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

نقوم بتطبيق هذا القانون على الشخص أثناء السباحة في اتجاه التيار وعكس اتجاه التيار، ونستخدم الزمن كمعلمة للعثور على السرعة.

الخطوات:

1. لنعتبر السرعة في المياه الهادئة ($V$) هي 12 كم/س.

2. نستخدم العلاقة بين السرعة والزمن لحساب زمن السباحة في اتجاه التيار ($t_1$) وعكس اتجاه التيار ($t_2$):

   $t_1 = \frac{\text{المسافة}}{V + S}$

   $t_2 = \frac{\text{المسافة}}{V – S}$

3. نعلم أن $t_2$ يساوي ضعف $t_1$:

   $2t_1 = t_2$

4. نستخدم العلاقة بين $t_1$ و $t_2$ للعثور على السرعة ($S$):

   $2\left(\frac{\text{المسافة}}{V + S}\right) = \frac{\text{المسافة}}{V – S}$

5. نقوم بتبسيط المعادلة وحلها للعثور على قيمة $S$، ونجد أن $S = 3$ كم/س.

6. يتم تحديد الجواب: سرعة التيار هي 3 كم/س.

القوانين المستخدمة:

1. قانون السرعة والمسافة: يتيح لنا حساب السرعة إذا كانت المسافة والزمن معروفين، أو حساب المسافة إذا كانت السرعة والزمن معروفين.

   $\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

2. قانون الزمن والمسافة في السباحة: يستخدم لحساب الزمن الذي يحتاجه الشخص للسباحة في اتجاه التيار وعكس اتجاه التيار.

   $t = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

3. قانون العلاقة بين الأزمنة في السباحة: يستخدم للعثور على العلاقة بين الأزمنة اللازمة للسباحة في اتجاه التيار وعكس اتجاه التيار.

   $t_1 = \frac{\text{المسافة}}{V + S}$

   $t_2 = \frac{\text{المسافة}}{V – S}$

   $2t_1 = t_2$