حساب زوايا مثلث مماس لدائرة (مسألة رياضيات)

في المثلث PQR، تمس الأضلاع دائرة لها مركز C. إذا كانت قياسات الزوايا PQR و QPR هي 63 درجة و 59 درجة على التوالي، فما هو قياس الزاوية QRC بالدرجات؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مجموع الزوايا في المثلث وخاصية الزوايا المتكافئة في الدائرة.

مجموع زوايا المثلث PQR هو 180 درجة، لذا يمكننا حساب قياس الزاوية PRQ كالتالي:

PRQ = 180 – PQR – QPR
PRQ = 180 – 63 – 59
PRQ = 58 درجة

الآن، نعرف أن الأضلاع PQ و QR هما مماسان للدائرة، لذا الزاوية QRC هي زاوية خارجية للمثلث QCR، وتساوي مجموع الزوايا الداخلية الأخرى للمثلث.

قيمة الزاوية QRC هي مجموع الزوايا QRP و QPR، لذا:

QRC = QRP + QPR
QRC = 58 + 59
QRC = 117 درجة

إذاً، قياس الزاوية QRC هو 117 درجة.

لحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً واستخدام القوانين المناسبة، يمكننا الاعتماد على عدة مفاهيم هندسية وقوانين هندسية أساسية. دعونا نقوم بتحليل المسألة خطوة بخطوة باستخدام هذه القوانين:

1. قانون مجموع زوايا المثلث:
   في أي مثلث، مجموع قياسات زواياه يساوي 180 درجة. هذا ينطبق على المثلث PQR أيضًا.

2. قوانين الزوايا المتكافئة:
   عندما يمس القطاعان PQ و QR دائرة، تكون الزوايا المقابلة لنقاط الاتصال متساوية القيم. بمعنى آخر، الزاوية الواقعة بين المماس والقطر تساوي 90 درجة.

3. مفهوم الزوايا الخارجية للمثلث:
   قيمة كل زاوية خارجية للمثلث تساوي مجموع الزوايا الداخلية الباقية في المثلث.

الآن، دعونا نقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

أولاً، لنحسب قيمة الزاوية PRQ:
$PRQ = 180 – PQR – QPR = 180 – 63 – 59 = 58 درجة$

ثانياً، نستخدم مفهوم الزاوية الخارجية للمثلث لحساب قيمة الزاوية QRC. هذه الزاوية تساوي مجموع الزوايا QRP و QPR.

$QRC = QRP + QPR$

وقيمة كل من QRP و QPR تمثل زوايا داخلية في المثلث QCR. ونعلم بأن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة. لذا، نستطيع حساب قيمة QRC كالتالي:

$QRC = 180 – PRQ = 180 – 58 = 122 درجة$

وهكذا، تكون قيمة الزاوية QRC هي 122 درجة.

هذا هو الحل الشامل للمسألة، حيث تم استخدام القوانين الهندسية المذكورة لحساب قيمة الزاوية المطلوبة بدقة.