حساب زاوية بين قطبين: الرياضيات الفيزيائية (مسألة رياضيات)

قدّمت معادلة الزاوية بين الفيكتورين $\begin{pmatrix} 2 \ 5 \end{pmatrix}$ و $\begin{pmatrix} -3 \ 7 \end{pmatrix}$ في الفضاء الرباعي باستخدام الصيغة:

$\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}$

حيث $\theta$ هي الزاوية بين الفيكتورين، $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ هما الفيكتورين، و$\cdot$ يمثل عملية الضرب النقطي، و$|\mathbf{v}|$ هو طول الفيكتور $\mathbf{v}$.

للتوضيح، لنفرض أن $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \ 5 \end{pmatrix}$ و $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -3 \ 7 \end{pmatrix}$، ثم نقوم بحساب الناتج:

$\cos(\theta) = \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix}}{\left\| \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \right\| \left\| \begin{pmatrix} -3 \\ 7 \end{pmatrix} \right\|}$

$\cos(\theta) = \frac{(2 \cdot -3) + (5 \cdot 7)}{\sqrt{2^2 + 5^2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + 7^2}}$

$\cos(\theta) = \frac{-6 + 35}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{58}}$

$\cos(\theta) = \frac{29}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{58}}$

$\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{58}}$

لحساب الزاوية، نقوم بتطبيق دالة الجيب للحصول على قيمة الزاوية:

$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{58}}\right)$

وباستخدام الآلة الحاسبة، نجد أن:

$\theta \approx 1.242$

إذا كانت الإجابة المطلوبة هي زاوية بين الفيكتورين، فإن الزاوية تقريباً تساوي 1.242 راديان.

لحل مسألة حساب زاوية بين القطبين $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$، نستخدم العلاقة بين المنتج الداخلي للقطبين وطول كل منهما مع استخدام قانون الجيب. هذه العملية تعتمد على القوانين التالية:

1. المنتج الداخلي (Dot Product):
   يتمثل المنتج الداخلي بين القطبين $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$ في العملية التالية:
   $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$
   حيث يمثل $u_1$ و $v_1$ و $u_2$ و $v_2$ مكونات القطبين على المحورين $x$ و $y$ على التوالي.

2. طول القطب (Magnitude of a Vector):
   لحساب طول القطب، نستخدم العلاقة التالية:
   $\|\mathbf{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}$

3. قانون الجيب (Law of Cosines):
   يتيح لنا قانون الجيب حساب قيمة الزاوية بين القطبين باستخدام المنتج الداخلي وطول كل منهما. يُعبر القانون عند حساب الزاوية بالصيغة التالية:
   $\cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}$
   حيث $\theta$ هو الزاوية بين القطبين.

في هذا السياق، حل المسألة يتضمن حساب المنتج الداخلي للقطبين، ثم حساب طول كل منهما، وأخيرًا استخدام قانون الجيب لحساب قيمة الزاوية بينهما.