حساب درجة متعدد بقسمة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

“نقسم متعددًا من الدرجة 13 على $d(x)$ لنحصل على جزء ناتج من الدرجة 7 وباقٍ من الدرجة 3x^3+4x^2-x+12. ما هو درجة $d(x)$؟”

الحل:

لنقم بتمثيل المعطيات الرياضية المعطاة. لنعتبر المتعدد كـ $f(x)$ والقسمة كـ $d(x)$، والباقي كـ $r(x)$.

$f(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)$

حيث:
$f(x) = \text{متعدد من الدرجة 13}$
$q(x) = \text{جزء الناتج من القسمة من الدرجة 7}$
r(x) = \text{الباقي من الدرجة 3x^3+4x^2-x+12}

ومن المعلوم أن درجة $q(x)$ هي 7. لذا يكون الجزء المتبقي $r(x)$ من الدرجة 6. الآن، يمكننا كتابة العلاقة بشكل أكثر تفصيلاً:

$f(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)$
$f(x) = d(x) \cdot (ax^7 + bx^6 + \ldots) + (3x^3+4x^2-x+12)$

حيث $a, b, \ldots$ هي معاملات في $q(x)$. الآن نقوم بمقارنة الدرجات للحصول على درجة $d(x)$.

لدينا $13 = 7 + 6$، لذا يكون $d(x)$ من الدرجة 6. إذاً، $\deg d = 6$.

بالتأكيد، دعنا نستكمل حلاً مفصلاً للمسألة مع التركيز على القوانين المستخدمة.

المسألة تطلب منا حساب درجة $d(x)$ عندما يتم قسم متعدد من الدرجة $13$ على $d(x)$ ويكون الناتج جزءًا من الدرجة $7$ مع باقٍ من الدرجة $3x^3+4x^2-x+12$.

لنستخدم القاعدة الأساسية للقسمة، التي تقول:

$f(x) = d(x) \cdot q(x) + r(x)$

حيث:

• $f(x)$ هو المتعدد الأصلي (درجة 13 في هذه الحالة).
• $d(x)$ هو المتعدد الذي نقسم عليه.
• $q(x)$ هو الجزء الناتج من القسمة.
• $r(x)$ هو الباقي.

وفي هذه الحالة:

$f(x) = d(x) \cdot q(x) + (3x^3+4x^2-x+12)$

نعلم أن $\deg q = 7$، لذا $\deg r$ سيكون $13 – 7 = 6$. وهذا يشير إلى أن درجة $d(x)$ هي $6$.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة القسمة الأساسية: كما تمثل العلاقة السابقة.
2. حساب درجة الباقي: الدرجة الكلية للمتعدد – درجة القسمة = درجة الباقي.

تمثل هذه القوانين أساس الخطوات التي تم اتخاذها في الحل. يتمثل الفهم الجيد لهذه القوانين في القدرة على حل مشكلات القسمة وتحديد درجة المتعددات بدقة.