حساب حجم كرة: صيغ هندسية وحلول (مسألة رياضيات)

سطح كرة محددة هو $324\pi\text{ سم}^2$. ما هو حجم الكرة بالنسبة لقيمة $\pi$؟

لنقم بحساب نصف قطر الكرة باستخدام الصيغة:

$\text{سطح الكرة} = 4\pi r^2$

نعين القيمة المعطاة:

$324\pi = 4\pi r^2$

نقوم بحساب نصف القطر:

$r^2 = \frac{324\pi}{4\pi}$

$r^2 = 81$

$r = 9$

الآن، سنستخدم الصيغة لحساب حجم الكرة:

$\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3}\pi r^3$

نعين قيمة نصف القطر:

$\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3}\pi (9)^3$

$\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3}\pi 729$

$\text{حجم الكرة} = 972\pi$

إذاً، حجم الكرة هو $972\pi$ سم³.

لنقم بفهم المسألة وحلها بمزيد من التفصيل. المسألة تتعلق بكرة، والهدف هو حساب حجم هذه الكرة باستخدام المعلومات المعطاة حول سطحها.

المعلومات المعطاة:

• سطح الكرة هو $324\pi \, \text{سم}^2$.

الخطوات:

1. حساب نصف القطر (r):
   استخدمنا صيغة سطح الكرة:
   $\text{سطح الكرة} = 4\pi r^2$
   حيث تعتبر $r$ هو نصف القطر.

   نعين القيمة المعطاة:
   $324\pi = 4\pi r^2$

   حل المعادلة للعثور على قيمة $r$:
   $r^2 = \frac{324\pi}{4\pi}$
   $r^2 = 81$
   $r = 9$

   إذاً، نصف قطر الكرة هو $9$ سم.

2. حساب حجم الكرة:
   الآن، بمجرد أن لدينا قيمة لنصف القطر ($r$)، يمكننا استخدام صيغة حجم الكرة:
   $\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3}\pi r^3$

   نعين قيمة نصف القطر:
   $\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3}\pi (9)^3$
   $\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3}\pi 729$
   $\text{حجم الكرة} = 972\pi$

القوانين المستخدمة:

1. صيغة سطح الكرة:
   $\text{سطح الكرة} = 4\pi r^2$

2. صيغة حجم الكرة:
   $\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3}\pi r^3$

الاستنتاج:
حينما نستخدم قوانين الهندسة الفضائية للكرات، يمكننا حساب حجم الكرة بناءً على سطحها. يجب فهم العلاقات بين مختلف القياسات واستخدام الصيغ الرياضية المناسبة للوصول إلى الإجابة النهائية.