حساب حجم الهرم المقطوع (مسألة رياضيات)

نريد أولاً حساب قيمة المتغير X في المثلث المتساوي الأضلاع. يتم ذلك باستخدام مبدأ في الهندسة الإسفيرية حيث أن مثلث قاعدة الهرم يتشكل من قطر الدائرة التي تمثل قاعدة الهرم ويكون متساوي الأضلاع.

لدينا قطر الدائرة هو طول القاعدة الذي يساوي $8\sqrt{2}$ ومن ثم طول الضلع الوسطي من المثلث قاعدة الهرم هو نصف هذا القطر.

إذاً:
$\text{نصف القطر} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

ثم يمكننا استخدام مبرهنة فيثاغورس لحساب طول الضلع الآخر من المثلث. نظرًا لأن المثلث قاعدي متطابق الأضلاع، فإن قياس زاويته قائم ويكون قياس جانبه الضلعي 8 ونصف الضلع المركزي الذي قمنا بحسابه سابقًا.

لذا:
$X^2 = 8^2 – (4\sqrt{2})^2$
$X^2 = 64 – 32$
$X^2 = 32$
$X = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

الآن، بمعرفة قيمة المتغير X، يمكننا حساب مساحة المستطيل الذي تمثله القاعدة المستطيلة للهرم. مساحة المستطيل يُمثلها الطول مضروبًا في العرض:

$\text{مساحة المستطيل} = 8\sqrt{2} \times X = 8\sqrt{2} \times 4\sqrt{2} = 64$

المساحة هي 64 وحدة مربعة.

الآن نحتاج إلى حساب حجم الهرم الذي تم قطعه بواسطة المستوى الموازي للقاعدة والموجود 3 وحدات فوق القاعدة. حجم الهرم يمثل ثلث حجم المستطيل المعتمدة على القاعدة. وبما أن المساحة تساوي 64 وحدة مربعة والارتفاع 3 وحدات، فإن حجم الهرم يكون:

$\text{الحجم} = \frac{1}{3} \times \text{المساحة} \times \text{الارتفاع}$
$= \frac{1}{3} \times 64 \times 3$
$= 64$

لذا، الحجم هو 64 وحدة مكعبة.

في حل مسألة الهرم الرباعي المقطوع بمستوى موازٍ لقاعدته، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الهندسية والرياضية، بما في ذلك:

1. مبرهنة فيثاغورث: تُستخدم لحساب طول الضلع في المثلث القائم الذي يتكون من الضلوع الأساسية للمثلث المتساوي الأضلاع.

2. مبدأ الهرم الرباعي الأساسي: حجم الهرم يُحسب بالتالي: $V = \frac{1}{3} \times \text{المساحة قاعدة} \times \text{الارتفاع}$.

الآن، سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل:

أولاً، لحساب طول الضلع في المثلث القائم، نستخدم مبرهنة فيثاغورث:
$X^2 = (\text{الضلع الأساسي})^2 – (\text{نصف طول القاعدة})^2$

ثانيًا، بمعرفة قيمة X، نحسب مساحة القاعدة المربعة باستخدام القاعدة التالية:
$\text{مساحة القاعدة} = (\text{الضلع الأساسي})^2$

ثالثًا، نستخدم معادلة حجم الهرم لحساب حجم الجزء المقطوع:
$V = \frac{1}{3} \times \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

وباستخدام هذه الخطوات والقوانين الهندسية، يمكننا حساب حجم الجزء المقطوع من الهرم بواسطة المستوى الموازي لقاعدته.