حساب حجم المخروط باستخدام الهندسة (مسألة رياضيات)

نعطى مخروطًا، حيث الارتفاع من القمة إلى مركز القاعدة هو 12 سم، وطول السقوط (الارتفاع الشاقولي) هو 13 سم. نرغب في حساب حجم هذا المخروط بالنسبة للقطر.

لحساب حجم المخروط، نستخدم الصيغة التالية: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$، حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع.

لحساب قطر القاعدة، نستخدم القاعدة الثلاثية في المثلث القائم الزاوي الذي يتكون من السقط ونصف قطر القاعدة والشاقول. نترك $r$ يمثل نصف قطر القاعدة. إذاً، نستخدم القاعدة الثلاثية كالتالي:

$r^2 + h^2 = l^2$

حيث $l$ هو الطول (السقوط) وهو 13 سم، و $h$ هو الارتفاع وهو 12 سم.

نستخدم هذه المعلومات لحساب قيمة $r$:

$r^2 = l^2 – h^2$

$r^2 = 13^2 – 12^2$

$r^2 = 169 – 144$

$r^2 = 25$

$r = 5$

الآن أن لدينا قيمة لنصف قطر القاعدة ($r$)، يمكننا استخدامها لحساب حجم المخروط باستخدام الصيغة التي ذكرناها أعلاه:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

$V = \frac{1}{3} \pi \times 5^2 \times 12$

$V = \frac{1}{3} \pi \times 25 \times 12$

$V = \frac{1}{3} \pi \times 300$

$V = 100 \pi$

إذا كان حجم المخروط هو $100 \pi$ سم³.

في هذه المسألة، نستخدم مفهومات الهندسة الفضائية والتفاعل بين المثلثات القائمة لحل مشكلة مخروط. نقوم بتطبيق مبادئ هندسية أساسية وصيغ رياضية للتوصل إلى الإجابة.

المبادئ والقوانين المستخدمة:

1. قاعدة ثلاثية المثلث القائم: في المثلث القائم، يمكننا استخدام قاعدة ثلاثية المثلث لحساب طول الضلع الثالث إذا كنا نعرف طولين من الأضلاع. في هذه الحالة، استخدمناها لحساب نصف قطر القاعدة.

2. صيغة حجم المخروط: حجم المخروط يمكن حسابه باستخدام الصيغة $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$، حيث $r$ هو نصف قطر القاعدة و $h$ هو الارتفاع.

الخطوات:

1. حساب نصف قطر القاعدة ($r$):
   نستخدم قاعدة ثلاثية المثلث القائم، حيث $r^2 + h^2 = l^2$، ونقوم بحساب قيمة $r$ باستخدام الأبعاد المعطاة في المسألة.

2. استخدام صيغة حجم المخروط:
   بعد حساب قيمة $r$، نستخدمها في صيغة حجم المخروط للحصول على الحجم النهائي.

بهذا الشكل، يتم توظيف المفاهيم الهندسية والرياضية لفهم وحل المشكلة. هذا النهج يسمح بتطبيق الرياضيات بشكل عميق ومفهوم في حل مشكلة هندسية.