حساب حاصل الضرب الرياضي: تحليل وتسلسلات (مسألة رياضيات)

نحن هنا أمام تحدي حسابي شيق يتعلق بحاصل ضرب تسلسل معين، حيث نطلب حساب الناتج التالي:
$\prod_{n=1}^{20} \frac{n+3}{n}.$

لفهم العملية بشكل أفضل، سنقوم بتحليل العامل الذي يتم تكراره في الحاصل الضربي. نجد أنه يمثل النسبة بين $n + 3$ و $n$. يمكن كتابتها على النحو التالي:
$\frac{n+3}{n}.$

الخطوة التالية هي التفكير في تبسيط هذه النسبة. يمكن أن نلاحظ أنه يمكننا كتابة $n+3$ على أنها $n+1+2$، ومن ثم تبسيط الكسر بقسمة كل جزء في الكسر على $n$. هكذا يصبح الناتج:

$\frac{n+1+2}{n} = \frac{n+1}{n} + \frac{2}{n}.$

الآن، يمكننا رؤية أن الكسر ينقسم إلى جزئين. الجزء الأول $\frac{n+1}{n}$ يمكن تبسيطه إلى $1 + \frac{1}{n}$، والجزء الثاني $\frac{2}{n}$ يبقى كما هو.

الآن نعود إلى الضرب التسلسلي الأصلي:
$\prod_{n=1}^{20} \frac{n+3}{n}.$

نستخدم الناتج الذي وصلنا إليه:
$\prod_{n=1}^{20} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \times \frac{2}{n}.$

الآن يمكننا بسهولة استخدام خاصية الضرب للكسور لتحليل الضرب التسلسلي. نلاحظ أن العنصر الأول في التسلسل هو $n=1$، وهذا يعني أننا سنحصل على:
$2 \times \frac{2}{1} \times \left(1 + \frac{1}{1}\right).$

ثم نتحرك إلى العنصر الثاني ($n=2$)، ونضرب في:
$2 \times \frac{2}{2} \times \left(1 + \frac{1}{2}\right).$

نكرر هذه العملية حتى نصل إلى العنصر العشرون ($n=20$):
$2 \times \frac{2}{20} \times \left(1 + \frac{1}{20}\right).$

الآن، يمكننا أن نحسب القيمة النهائية ببساطة باستمرار عملية الضرب والتبسيط. يمكن تقديم الجواب بشكل نهائي كالتالي:

$2 \times \frac{2}{1} \times \left(1 + \frac{1}{1}\right) \times \frac{2}{2} \times \left(1 + \frac{1}{2}\right) \times \frac{2}{3} \times \ldots \times \frac{2}{20} \times \left(1 + \frac{1}{20}\right).$

هذا هو الناتج النهائي للضرب التسلسلي، ويمكنك حساب القيمة العددية له للحصول على الإجابة النهائية.

فيما يلي تفاصيل إضافية لحل المسألة والقوانين المستخدمة:

المسألة تتعلق بحساب حاصل الضرب لتسلسل معين، وذلك باستخدام القاعدة التالية لضرب الكسور:

$\frac{a_1}{b_1} \times \frac{a_2}{b_2} \times \frac{a_3}{b_3} \times \ldots \times \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \ldots \times a_n}{b_1 \times b_2 \times b_3 \times \ldots \times b_n}.$

في حالتنا، الكسور هي $\frac{n+3}{n}$، ونريد حساب حاصل الضرب للتسلسل التالي:

$\prod_{n=1}^{20} \frac{n+3}{n}.$

لتسهيل الحساب، نستخدم الخاصية التالية لجمع الكسور:

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}.$

نبدأ بتبسيط الكسر $\frac{n+3}{n}$، حيث نقسم كل جزء في الكسر على $n$ ونحصل على:

$\frac{n+1}{n} + \frac{2}{n}.$

ثم نستخدم القاعدة لجمع الكسور لتحويل الكسر إلى جزئين:

$\frac{n+1}{n} + \frac{2}{n} = \frac{n+1+2}{n} = \frac{n+3}{n}.$

الآن، نرى أننا يمكننا كتابة $\frac{n+3}{n}$ على النحو التالي:

$\frac{n+3}{n} = 1 + \frac{3}{n}.$

وبالتالي، نستطيع كتابة العنصر الأصلي في التسلسل على النحو التالي:

$\prod_{n=1}^{20} \left(1 + \frac{3}{n}\right).$

الآن، نستخدم قاعدة الضرب للكسور مرة أخرى، حيث يصبح الحساب كالتالي:

$\prod_{n=1}^{20} \left(1 + \frac{3}{n}\right) = \frac{4}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{6}{3} \times \ldots \times \frac{23}{20}.$

نستخدم القاعدة النهائية للضرب للكسور:

$\frac{a_1}{b_1} \times \frac{a_2}{b_2} \times \frac{a_3}{b_3} \times \ldots \times \frac{a_n}{b_n} = \frac{a_1 \times a_2 \times a_3 \times \ldots \times a_n}{b_1 \times b_2 \times b_3 \times \ldos \times b_n}.$

بتطبيق هذه القاعدة، نحصل على الناتج النهائي:

$\frac{4}{1} \times \frac{5}{2} \times \frac{6}{3} \times \ldots \times \frac{23}{20} = 1771.$

إذاً، الحل النهائي للمسألة هو 1771، وتم استخدام القوانين الرياضية للضرب وجمع الكسور للوصول إلى هذا الحل.