حساب جذر تربيعي: تبسيط $\sqrt{245}$ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
أعد كتابة التعبير الرياضي $\sqrt{245}$ بشكل مبسط.

الحل:
لحل هذه المسألة، نستخدم خاصية تفكيك العدد إلى عوامل أولية. في هذه الحالة، نعمل على تفكيك العدد 245 إلى عوامله الأولية.

نبدأ بالبحث عن أصغر عدد أولي يقسم 245، ونجد أن 5 هو عامل أولي لـ 245، لأن 5 × 49 = 245. الآن نقوم بتفكيك 49 إلى عوامله الأولية، ونجد أن 7 هو العامل الأولي الذي يقسم 49، لأن 7 × 7 = 49.

إذاً، يمكن كتابة التعبير $\sqrt{245}$ بشكل مبسط على النحو التالي:
$\sqrt{245} = \sqrt{5 \times 7 \times 7}$

ونلاحظ أن العدد 5 ليس له جذر تربيعي، لكن العدد 7 لديه جذر تربيعي يمكن استخدامه. لذا، يمكن تبسيط التعبير إلى:
$\sqrt{245} = \sqrt{5 \times 7^2}$

ثم يمكن استخدام خاصية الجذر لتقسيم الأس 2 إلى الخارج، وبالتالي يكون الجواب النهائي:
$\sqrt{245} = \sqrt{5} \times \sqrt{7^2} = \sqrt{5} \times 7$

لذا، المتغير المبسط للتعبير $\sqrt{245}$ هو:
$\sqrt{245} = 7\sqrt{5}$

لحساب قيمة $\sqrt{245}$، نستخدم مجموعة من الخطوات والقوانين الرياضية:

1. تقسيم العدد إلى عوامل أولية: نبدأ بتقسيم العدد 245 إلى عوامل أولية لتبسيط العملية. في هذه الحالة، نجد أن العوامل الأولية لـ 245 هي 5 و 7.

2. استخدام قاعدة جذر التكرار: بعد تحديد العوامل الأولية، نستخدم قاعدة جذر التكرار لتبسيط الجذر.

3. تحويل الجذر لضرب العوامل الأولية: نقوم بتحويل الجذر إلى ضرب الجذور الفرعية لكل عامل أولي.

4. حساب القيم التقريبية للجذور الفرعية: نستخدم التقريب لحساب القيم التقريبية لجذور الأعداد الأولية.

5. الضرب للحصول على الناتج النهائي: نقوم بضرب القيم التقريبية لجذور العوامل الأولية معًا للحصول على القيمة النهائية للجذر.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين الرياضية، نحصل على قيمة تقريبية لجذر 245، والتي هي حوالي 5.916.

هذه الطريقة تستند إلى فهم العمليات الرياضية الأساسية مثل عوامل الأعداد وقوانين الجذور والضرب، وتوظيفها بشكل صحيح لحل المسألة بدقة.