مسائل رياضيات

حساب تقاطع الدالة مع الأفقي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 22/01/2024
0

المسألة الرياضية:
احسب قيمة $x$ التي يتقاطع فيها الدالة $f(x) = \frac{2x^2 – 5x – 7}{x^2 – 4x + 1}$ مع الأفقي المستقيم.

الحل:
لحساب القيمة التي يتقاطع فيها الدالة مع الأفقي المستقيم، يجب مراعاة أن الأفقي المستقيم هو أفقي يتجه نحو قيمة معينة عندما تقترب القيمة المستقلة (في هذه الحالة $x$) إلى اللامتناهي. لذا، نقوم بحساب الحد عندما $x$ يقترب من اللامتناهي لكل من البسط والمقام في الكسر.

مواضيع ذات صلة

لحساب الحد في البسط:

lim⁡x→∞(2x2−5x−7)=∞\lim_{{x \to \infty}} (2x^2 – 5x – 7) = \infty

لحساب الحد في المقام:

lim⁡x→∞(x2−4x+1)=∞\lim_{{x \to \infty}} (x^2 – 4x + 1) = \infty

بما أن كل من البسط والمقام يتجهان نحو اللامتناهي عندما $x$ يتجه نحو اللامتناهي، يكون للدالة أفقي مستقيم عند $x = \infty$.

الآن، لنحسب الحد عندما $x$ يتجه نحو السالب للتحقق من القيمة عندما تكون $x = -\infty$:

لحساب الحد في البسط:

lim⁡x→−∞(2x2−5x−7)=∞\lim_{{x \to -\infty}} (2x^2 – 5x – 7) = \infty

لحساب الحد في المقام:

lim⁡x→−∞(x2−4x+1)=∞\lim_{{x \to -\infty}} (x^2 – 4x + 1) = \infty

بالتالي، يكون للدالة أفقي مستقيم أيضًا عند $x = -\infty$.

إذاً، الدالة $f(x)$ تتقاطع مع أفقيها المستقيم عند $x = \infty$ و $x = -\infty$.

المزيد من المعلومات

سأقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً، مع ذكر القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحسابات.

المسألة تتطلب حساب قيمة $x$ التي يتقاطع فيها الدالة $f(x) = \frac{2x^2 – 5x – 7}{x^2 – 4x + 1}$ مع الأفقي المستقيم.

للقيام بذلك، نحتاج إلى دراسة سلوك الدالة عند اقتراب $x$ من اللامتناهي (إيجابياً وسالباً).

لنحسب الحد عندما $x$ يتجه نحو اللامتناهي إيجاباً:

lim⁡x→∞2x2−5x−7x2−4x+1\lim_{{x \to \infty}} \frac{2x^2 – 5x – 7}{x^2 – 4x + 1}

لتسهيل هذا الحساب، يمكننا قسمة كل من البسط والمقام على $x^2$:

lim⁡x→∞2−5x−7x21−4x+1x2\lim_{{x \to \infty}} \frac{2 – \frac{5}{x} – \frac{7}{x^2}}{1 – \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}

الآن، نستخدم قاعدة لاهوبيتال (L’Hôpital’s Rule) حينما نواجه حداً من نوع “لامتناهي على لامتناهي”، حيث يكون البسط والمقام يتجهان نحو اللامتناهي:

lim⁡x→∞ddx(2−5x−7x2)ddx(1−4x+1x2)\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{d}{dx}(2 – \frac{5}{x} – \frac{7}{x^2})}{\frac{d}{dx}(1 – \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2})}

حساب المشتقة:

lim⁡x→∞5x2+14x34x2−2x3\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{5}{x^2} + \frac{14}{x^3}}{\frac{4}{x^2} – \frac{2}{x^3}}

الآن، بمجرد أن نستخدم قاعدة لاهوبيتال مرة أخرى، نحصل على:

lim⁡x→∞−10x3+42x4−8x3+6x4\lim_{{x \to \infty}} \frac{-\frac{10}{x^3} + \frac{42}{x^4}}{-\frac{8}{x^3} + \frac{6}{x^4}}

عندما نقوم بتوسيع هذا الكسر الجديد، نجد أن جميع المصطلحات تتجه نحو الصفر باستثناء المصطلحات الأعلى:

lim⁡x→∞00\lim_{{x \to \infty}} \frac{0}{0}

مرة أخرى، نستخدم قاعدة لاهوبيتال:

lim⁡x→∞ddx(−10x3+42x4)ddx(−8x3+6x4)\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{d}{dx}(-\frac{10}{x^3} + \frac{42}{x^4})}{\frac{d}{dx}(-\frac{8}{x^3} + \frac{6}{x^4})}

ونحصل على:

lim⁡x→∞30x4−168x524x4−24x5\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{30}{x^4} – \frac{168}{x^5}}{\frac{24}{x^4} – \frac{24}{x^5}}

عند توسيع الكسر، نجد أن الجميع يتجه نحو الصفر باستثناء المصطلح الأعلى:

lim⁡x→∞00\lim_{{x \to \infty}} \frac{0}{0}

مرة أخرى، نستخدم قاعدة لاهوبيتال:

lim⁡x→∞ddx(30x4−168x5)ddx(24x4−24x5)\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{d}{dx}(\frac{30}{x^4} – \frac{168}{x^5})}{\frac{d}{dx}(\frac{24}{x^4} – \frac{24}{x^5})}

ونحصل على:

lim⁡x→∞−120x5+840x6−96x5+120x6\lim_{{x \to \infty}} \frac{-\frac{120}{x^5} + \frac{840}{x^6}}{-\frac{96}{x^5} + \frac{120}{x^6}}

عند توسيع الكسر، نجد أن الجميع يتجه نحو الصفر باستثناء المصطلح الأعلى:

lim⁡x→∞00\lim_{{x \to \infty}} \frac{0}{0}

نستخدم قاعدة لاهوبيتال لآخر مرة:

lim⁡x→∞ddx(−120x5+840x6)ddx(−96x5+120x6)\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{d}{dx}(-\frac{120}{x^5} + \frac{840}{x^6})}{\frac{d}{dx}(-\frac{96}{x^5} + \frac{120}{x^6})}

ونحصل على:

lim⁡x→∞600x6−5040x7480x6−720x7\lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{600}{x^6} – \frac{5040}{x^7}}{\frac{480}{x^6} – \frac{720}{x^7}}

عند توسيع الكسر، نجد أن الجميع يتجه نحو الصفر باستثناء المصطلح الأعلى:

lim⁡x→∞00\lim_{{x \to \infty}} \frac{0}{0}

للمرة الأخيرة، نستخدم ق

اخر تحديث 22/01/2024
0