حساب تعبير العوامل المتكررة (مسألة رياضيات)

نريد حساب القيمة التالية:

لنقم بتبسيط هذه العملية. يُمكننا كتابة $42!$ على أنها العبارة التالية:

نستخدم هذه الخاصية في القسمة:

نلاحظ أن $\frac{40!}{40!}$ يُساوي 1، لذا:

ولكن الضرب في 1 لا يغيّر القيمة، لذا:

وبالتالي، قيمة التعبير المعطى هي 1,722.

لحساب التعبير $\frac{42!}{40!}$، نستخدم مجموعة من القوانين والملاحظات الرياضية:

1. قانون القسمة للعوامل المتكررة: يمكن تبسيط تعابير العوامل المتكررة في القسمة عندما تتضمن عوامل متشابهة في البسط والمقام.

2. قوانين العوامل العادية: عندما يحدث إلغاء للعوامل المتكررة، فإننا نستخدم قوانين الجبر العادية.

3. تعريف العاملين الفاعلين: نستخدم تعريف العاملين الفاعلين لتقدير حجم الأعداد الكبيرة. على سبيل المثال، $42!$ هو ناتج ضرب جميع الأعداد من 1 إلى 42.

الآن، لحل التعبير $\frac{42!}{40!}$:

أولاً، نقوم بتحليل $42!$ باستخدام تعريف العاملين الفاعلين. يمكن كتابة $42!$ على أنها العبارة التالية:

$42! = 42 \times 41 \times 40!$

ثانياً، نقوم بتقسيم $42!$ على $40!$ باستخدام قوانين الجبر:

$\frac{42!}{40!} = \frac{42 \times 41 \times 40!}{40!}$

ثالثاً، نلاحظ أن العامل $40!$ يُمكن إلغاؤه في البسط والمقام، حيث يُساوي 1:

$\frac{42!}{40!} = 42 \times 41 \times 1$

وأخيراً، نقوم بالضرب للحصول على القيمة النهائية:

$\frac{42!}{40!} = 42 \times 41 = 1,722$

بهذا الشكل، نستنتج أن قيمة التعبير $\frac{42!}{40!}$ تساوي 1,722.

في الحل، استخدمنا القسمة للعوامل المتكررة وقوانين العوامل العادية مع تعريف العاملين الفاعلين لتبسيط التعبير وحساب القيمة النهائية.