حساب باقي قوة 3 (مسألة رياضيات)

المطلوب هو حساب باقي قيمة $3^{33}$ عند قسمتها على 5.

لحساب هذا الباقي، يمكننا استخدام فكرة الباقي عند قسمة الأعداد على عدد آخر. لنقم بحساب قوى العدد 3:

$3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81, \ldots$

نرى أن قوى العدد 3 تأخذ أنماطًا متكررة عند القسمة على 5. لنلخص الأنماط:

$3^1 \equiv 3 \pmod{5}$
$3^2 \equiv 4 \pmod{5}$
$3^3 \equiv 2 \pmod{5}$
$3^4 \equiv 1 \pmod{5}$

الآن، نحسب باقي $33 \div 4$، حيث 4 هو الحيث الذي تتكرر فيه الأنماط:

$33 \div 4 = 8 \: والباقي\: 1$

إذاً، نعلم أن الأنمطة تتكرر كل 4 أس، وباقي 1 يعني أننا سنستخدم النمط الأول. لذلك:

$3^{33} \equiv 3^1 \equiv 3 \pmod{5}$

إذا كان لدينا $3^{33}$ وقمنا بقسمته على 5، فإن الباقي سيكون 3.

لحساب الباقي عند قسم $3^{33}$ على 5، يمكننا استخدام مفهوم الباقي في الحسابات العددية. لتوضيح الحل، سنعتمد على قوانين الجبر المتعلقة بالباقي:

1. قاعدة الباقي عند الضرب:
   إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإن $(a \cdot c) \equiv (b \cdot d) \pmod{m}$.

2. قاعدة الباقي عند الأس:
   إذا كانت $a \equiv b \pmod{m}$، فإن $a^n \equiv b^n \pmod{m}$.

الآن، لنحل المسألة:

نعلم أن:
$3^1 \equiv 3 \pmod{5}$
$3^2 \equiv 4 \pmod{5}$
$3^3 \equiv 2 \pmod{5}$
$3^4 \equiv 1 \pmod{5}$

نستخدم قاعدة الباقي عند الأس لحساب قيمة $3^{33}$:
$3^{33} \equiv (3^4)^8 \cdot 3^1 \pmod{5}$

وبما أننا نعلم أن $3^4 \equiv 1 \pmod{5}$، يمكننا تبسيط العبارة إلى:
$3^{33} \equiv 1^8 \cdot 3^1 \equiv 3 \pmod{5}$

لذا، الباقي عند قسم $3^{33}$ على 5 هو 3.

تم استخدام القوانين المذكورة لتسهيل الحسابات وتقديم حلا فعالاً للمسألة.