حساب باقي قوة كبيرة على 7 (مسألة رياضيات)

عند قسمة $2^{200} – 3$ على 7، يكون الباقي هو 1.

الحل:

لنحسب الباقي عند قسم $2^{200} – 3$ على 7.

نستخدم قاعدة الباقي عند قسم أي عدد $a$ على $n$: إذا كان $a$ قابل للقسم على $n$ بدون باقي، فإن باقي القسم يكون صفرًا. إذا كان هناك باقي، فإن الباقي يكون بنفس قيمة الفرق بين $a$ وأقرب مضاعف لـ $n$ الذي يكون أقل منه.

لذا، نبدأ بحساب $2^{200}$ ثم نطرح 3 ونقوم بقسم الناتج على 7.

بدايةً، لنحسب بعض الأقسام:

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$
$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$
$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$
$2^4 \equiv 2 \pmod{7}$

نلاحظ أن $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$. إذاً، إذا قمنا بضرب $2^3$ في أي عدد، سيكون الناتج متساويًا للعدد نفسه بالنسبة للقسم على 7.

الآن، لحساب $2^{200}$:

$2^{200} = (2^3)^{66} \times 2^2$

ونعلم أن $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$، لذا يمكننا استبداله:

$2^{200} \equiv 1^{66} \times 2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

الآن، نقوم بطرح 3 ونحسب الباقي:

$4 – 3 \equiv 1 \pmod{7}$

إذاً، الباقي عند قسم $2^{200} – 3$ على 7 هو 1.

لحساب الباقي عند قسم $2^{200} – 3$ على 7، سنستخدم العديد من القوانين والمفاهيم الرياضية. سنقوم بتحليل هذه المسألة بمزيد من التفصيل واستخدام القوانين التالية:

1. قاعدة الباقي عند القسم:
   إذا قمنا بقسم عدد $a$ على $n$، فإن باقي القسم يكون نفس باقي قسم $a$ – $kn$ حيث $k$ عدد صحيح.

2. قوانين أعداد التربيع:
   يُستخدم تمثيل $2^{200}$ كتراكم لأعداد تربيعية لتبسيط الحسابات.

لنبدأ بحساب $2^{200}$ باستخدام قوانين أعداد التربيع:

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$
$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$
$2^3 \equiv 1 \pmod{7}$
$2^4 \equiv 2 \pmod{7}$

نرى أن $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$. هذا يعني أن أي قوة فردية من 2 تكون متساوية لـ 2، وأي قوة زوجية من 2 تكون متساوية لـ 4.

الآن، لنحسب $2^{200}$:

$2^{200} = (2^3)^{66} \times 2^2$

نستخدم قاعدة التربيع للتقليل من قيمة العدد:

$2^{200} \equiv 1^{66} \times 2^2 \equiv 4 \pmod{7}$

الآن، نطرح 3 ونحسب الباقي:

$4 – 3 \equiv 1 \pmod{7}$

لذلك، الباقي عند قسم $2^{200} – 3$ على 7 هو 1. في هذا الحل، استخدمنا قاعدة الباقي عند القسم وقوانين أعداد التربيع لتبسيط الحسابات والوصول إلى الإجابة.