حساب باقي قسمة 3^26 على 5

البحث عن الباقي عند قسمة 3^26 على 5 يتطلب استخدام بعض الخصائص الحسابية وقوانين الباقي. يمكننا تفسير العملية بشكل مفصل.

نعلم أنه يمكن تمثيل أي عدد صحيح على شكل 5ك + ر، حيث يمثل ك القسمة الكلية للعدد على 5، ور هو الباقي.

لحساب الباقي عند قسمة 3^26 على 5، يمكننا الاعتماد على نمط الباقي لأقواس الأعداد. لنقم بحساب بعض قواس الأعداد العشرية لأوائل الأسهم:

3^1 mod 5 = 3
3^2 mod 5 = 4
3^3 mod 5 = 2
3^4 mod 5 = 1
3^5 mod 5 = 3
3^6 mod 5 = 4
3^7 mod 5 = 2
3^8 mod 5 = 1

نلاحظ أن الأسهم تتكرر بعد كل 4 أوائل. الآن، لحساب 3^26 mod 5، يمكننا تقدير كم من هذه الدورات الكاملة ستحدث في 26، ونضرب الباقي بعدد الأوائل المتبقية.

26 ÷ 4 = 6 والباقي 2.

لذا، نحتاج إلى حساب 3^2 mod 5:

3^2 mod 5 = 4

بالتالي، الباقي عند قسم 3^26 على 5 هو 4.

لحل مسألة حساب باقي قسمة $3^{26}$ على 5، سنقوم بتفصيل العملية باستخدام قوانين الحساب العددي. نستخدم قاعدة الباقي ونفحص الأنماط المتكررة.

قاعدة الباقي: عندما نقوم بقسم عدد صحيح على عدد آخر، فإن الباقي هو الفرق بين هذا العدد وأقرب مضاعف للعدد الذي قمنا بالقسمة عليه.

الآن، لنستكشف الأنماط باستخدام قوانين الأسس:

1. $3^1 \mod 5 = 3$
2. $3^2 \mod 5 = 4$
3. $3^3 \mod 5 = 2$
4. $3^4 \mod 5 = 1$

نرى أن الأنماط تتكرر كل 4 أعداد. الخطوة الأولى هي حساب عدد الدورات الكاملة التي ستحدث في $26 \div 4$، والباقي سيكون $26 \mod 4$.

$26 \div 4 = 6$ مع باقي $2$.

الآن، نحتاج إلى حساب $3^2 \mod 5$ لأن الأسهم تكرر بعد كل 4 أعداد:

$3^2 \mod 5 = 9 \mod 5 = 4$

بالتالي، باقي قسم $3^{26}$ على 5 هو 4.

تم استخدام قاعدة الباقي وقوانين الأسس في هذا الحل.