حساب باقي القسمة باستخدام الفاصلة الكبيرة

سنقوم بحساب باقي القسمة عند قسمة $2^{200} – 1$ على 7.

للقيام بذلك، سنستخدم خوارزمية تسمى “قاعدة الفاصلة الكبيرة”، حيث نقوم بتقسيم العدد الكبير إلى أجزاء أصغر ونحسب الباقي لكل جزء بشكل منفصل ثم نجمع البواقي للحصول على الباقي النهائي.

لدينا:
$2^{200} – 1$

سنبدأ بحساب $2^{200}$ ثم نقوم بطرح 1.

$2^{200} = 2^{7 \times 28 + 4} = (2^7)^{28} \times 2^4$

ونعلم أن $2^7 = 128$ وبالتالي:

$2^{200} = 128^{28} \times 2^4$

الآن سنحسب الباقي عند قسم كل جزء على 7:

1. باقي $128^{28}$ عند قسمه على 7.
2. باقي $2^4$ عند قسمه على 7.

سنحسب الباقي للجزء الأول:
$128^{28} \mod 7$

نلاحظ أن $128 \mod 7 = 1$، لذلك:
$128^{28} \mod 7 = 1^{28} \mod 7 = 1$

ثم سنحسب الباقي للجزء الثاني:
$2^4 \mod 7$

نعلم أن $2^4 = 16$ وبالتالي:
$2^4 \mod 7 = 16 \mod 7 = 2$

الآن سنقوم بجمع البواقي:
$1 + 2 = 3$

إذاً، الباقي عند قسم $2^{200} – 1$ على 7 هو 3.

لحساب باقي القسمة عند قسم $2^{200} – 1$ على 7، سنستخدم قاعدة الفاصلة الكبيرة. هذه القاعدة تعتمد على استخدام القوانين الحسابية الأساسية مع بعض الخصائص الخاصة بالقسمة.

لنحسب الجزء الأول $2^{200}$:

$2^{200} = 2^{7 \times 28 + 4} = (2^7)^{28} \times 2^4$

ونعلم أن $2^7 = 128$، لذلك يمكننا تبسيطها إلى:

$2^{200} = 128^{28} \times 2^4$

الآن، لنحسب الباقي عند قسم $128^{28}$ على 7. هنا نستفيد من قاعدة في الحسابات الفردية:

$a^n \mod m = (a \mod m)^n \mod m$

لذلك:

$128^{28} \mod 7 = (128 \mod 7)^{28} \mod 7$

ونعلم أن $128 \mod 7 = 1$، لذلك:

$128^{28} \mod 7 = 1^{28} \mod 7 = 1$

الآن، لنحسب الباقي عند قسم $2^4$ على 7:

$2^4 \mod 7 = 16 \mod 7 = 2$

ثم نجمع البواقي:

$1 + 2 = 3$

إذاً، الباقي عند قسم $2^{200} – 1$ على 7 هو 3.

القوانين المستخدمة:

1. قانون قوة العدد: $a^{mn} = (a^m)^n$
2. قانون الفاصلة الكبيرة: إذا كان $a \equiv b \pmod{m}$، فإنهما يتفقان في الباقي عند قسمهما على $m$.
3. قانون الباقي للأسس: $(a \mod m)^n \mod m = a^n \mod m$

تلك القوانين مساعدة في تبسيط العمليات الحسابية وحساب البواقي بشكل فعال.