المطلوب هو حساب باقي القسمة عند قسمة $r^{13} + 1$ على $r – 1$. لنقم بتفكيك هذه المعادلة الرياضية لفهم كيفية حساب الباقي.
$r^{13} + 1$ يمكن تعبيرها على النحو التالي:
الآن، يمكننا استخدام قاعدة القسمة الطويلة للقسمة بين $r^{13} + 1$ و $r – 1$. نبدأ بالقسمة:
\hspace{1em} r^{12} \\
r – 1 \overline{\smash{\big)} r^{13} + 0r^{12} + 0r^{11} + \ldots + 0r^2 + 0r + 1} \\
\hspace{2.2em} \underline{\hspace{1.2em}-(r^{13} – r^{12})} \\
\hspace{2.2em} 0r^{12} + r^{11} \\
\hspace{3.5em} \underline{\hspace{1.5em}-(r^{12} – r^{11})} \\
\hspace{3.5em} r^{11} + 0r^{10} \\
\hspace{5.2em} \vdots \\
\hspace{7em} \underline{\hspace{1.5em}-(r – 1)} \\
\hspace{7em} 1
\end{array} \] بهذا نجد أن الباقي هو 1. إذاً، عند قسمة $r^{13} + 1$ على $r – 1$، يكون الباقي هو 1.
r – 1 \overline{\smash{\big)} r^{13} + 0r^{12} + 0r^{11} + \ldots + 0r^2 + 0r + 1} \\
\hspace{2.2em} \underline{\hspace{1.2em}-(r^{13} – r^{12})} \\
\hspace{2.2em} 0r^{12} + r^{11} \\
\hspace{3.5em} \underline{\hspace{1.5em}-(r^{12} – r^{11})} \\
\hspace{3.5em} r^{11} + 0r^{10} \\
\hspace{5.2em} \vdots \\
\hspace{7em} \underline{\hspace{1.5em}-(r – 1)} \\
\hspace{7em} 1
\end{array} \] بهذا نجد أن الباقي هو 1. إذاً، عند قسمة $r^{13} + 1$ على $r – 1$، يكون الباقي هو 1.
المزيد من المعلومات
لنحل المسألة، دعونا نفكك العبارة $r^{13} + 1$ باستخدام القوانين الجبرية ونستخدم قاعدة القسمة الطويلة لحساب باقي القسمة على $r – 1$.
العبارة $r^{13} + 1$ يمكن تعبيرها على النحو التالي:
ثم نستخدم قاعدة القسمة الطويلة:
\hspace{1em} r^{12} \\
r – 1 \overline{\smash{\big)} r^{13} + 0r^{12} + 0r^{11} + \ldots + 0r^2 + 0r + 1} \\
\hspace{2.2em} \underline{\hspace{1.2em}-(r^{13} – r^{12})} \\
\hspace{2.2em} 0r^{12} + r^{11} \\
\hspace{3.5em} \underline{\hspace{1.5em}-(r^{12} – r^{11})} \\
\hspace{3.5em} r^{11} + 0r^{10} \\
\hspace{5.2em} \vdots \\
\hspace{7em} \underline{\hspace{1.5em}-(r – 1)} \\
\hspace{7em} 1
\end{array} \] التفاصيل:
1. نقوم بتقسيم أعلى المتغيرات في الطرف الأيسر $r^{13}$ على أعلى المتغيرات في الطرف اليمين $r$ للحصول على $r^{12}$.
2. نضرب $r – 1$ في $r^{12}$ ونطرح الناتج من $r^{13}$ للحصول على $r^{11}$.
3. نستمر في هذه العملية حتى نصل إلى الثابت 1، ونجد أن الباقي هو 1.
القوانين المستخدمة:
1. **تمثيل العبارات:** تمثيل $r^{13} + 1$ كمجموعة من الأصغر قوى للمتغير $r$.
2. **قاعدة القسمة الطويلة:** استخدام قاعدة القسمة الطويلة لتقسيم $r^{13} + 1$ على $r – 1$.
باختصار، نستخدم الجبر وقاعدة القسمة الطويلة لفك تعبير العبارة وحساب الباقي.
r – 1 \overline{\smash{\big)} r^{13} + 0r^{12} + 0r^{11} + \ldots + 0r^2 + 0r + 1} \\
\hspace{2.2em} \underline{\hspace{1.2em}-(r^{13} – r^{12})} \\
\hspace{2.2em} 0r^{12} + r^{11} \\
\hspace{3.5em} \underline{\hspace{1.5em}-(r^{12} – r^{11})} \\
\hspace{3.5em} r^{11} + 0r^{10} \\
\hspace{5.2em} \vdots \\
\hspace{7em} \underline{\hspace{1.5em}-(r – 1)} \\
\hspace{7em} 1
\end{array} \] التفاصيل:
1. نقوم بتقسيم أعلى المتغيرات في الطرف الأيسر $r^{13}$ على أعلى المتغيرات في الطرف اليمين $r$ للحصول على $r^{12}$.
2. نضرب $r – 1$ في $r^{12}$ ونطرح الناتج من $r^{13}$ للحصول على $r^{11}$.
3. نستمر في هذه العملية حتى نصل إلى الثابت 1، ونجد أن الباقي هو 1.
القوانين المستخدمة:
1. **تمثيل العبارات:** تمثيل $r^{13} + 1$ كمجموعة من الأصغر قوى للمتغير $r$.
2. **قاعدة القسمة الطويلة:** استخدام قاعدة القسمة الطويلة لتقسيم $r^{13} + 1$ على $r – 1$.
باختصار، نستخدم الجبر وقاعدة القسمة الطويلة لفك تعبير العبارة وحساب الباقي.