حساب ال Determinant لضرب المصفوفات (مسألة رياضيات)

إذا كانت $\det \mathbf{A} = 2$ و $\det \mathbf{B} = X$، فإنه يُطلب حساب $\det (\mathbf{A} \mathbf{B})$. وعندما يُعلم أن الإجابة على هذا السؤال هي 24، يُطلب حساب قيمة المتغير المجهول $X$.

للحساب، نستخدم الخاصية التي تقول أن $\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \cdot \det(\mathbf{B})$. بناءً على ذلك:

$\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \cdot \det(\mathbf{B})$

وضعنا القيم المعطاة:

$\det(\mathbf{AB}) = 2 \cdot X$

وفي المعلومات المقدمة ذُكر أن $\det(\mathbf{AB}) = 24$، لذلك:

$2 \cdot X = 24$

الآن نحسب قيمة المتغير المجهول $X$:

$X = \frac{24}{2} = 12$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 12.

بالطبع، سنقوم بتفصيل حلا المسألة بشكل أكبر، وسنذكر القوانين المستخدمة في هذا الحل.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة ضرب المصفوفات:
   إذا كانت $\mathbf{A}$ مصفوفة من النوع $m \times n$ وكانت $\mathbf{B}$ مصفوفة من النوع $n \times p$، فإن مصفوفة الضرب $\mathbf{AB}$ ستكون من النوع $m \times p$.

2. خاصية حساب ال Determinant لضرب المصفوفات:
   $\det(\mathbf{AB}) = \det(\mathbf{A}) \cdot \det(\mathbf{B})$

الحل:

نعلم أن $\det \mathbf{A} = 2$ و $\det \mathbf{B} = X$. ونريد حساب $\det (\mathbf{A} \mathbf{B})$. وفقًا للقاعدة الثانية المذكورة أعلاه:

$\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = \det(\mathbf{A}) \cdot \det(\mathbf{B})$

ونستبدل القيم المعطاة:

$\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = 2 \cdot X$

ومن المعلوم أن $\det (\mathbf{A} \mathbf{B}) = 24$. لذلك:

$2 \cdot X = 24$

الآن، نقوم بحساب قيمة المتغير المجهول $X$:

$X = \frac{24}{2} = 12$

إذاً، وباستخدام قوانين ضرب المصفوفات وحساب ال Determinant، تم حل المسألة بنجاح.