مسائل رياضيات

حساب النورم للضرب الثابت: درس رياضيات (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 13/01/2024
0

المسألة الرياضية هي: إذا كانت قيمة النorm (الطول) للمتجه $\mathbf{v}$ تساوي 4، فما هي قيمة النorm للمتجه $-3 \mathbf{v}$؟

لحل هذه المسألة، نستخدم القاعدة الأساسية لحساب النorm، حيث يمكننا حساب نorm لضرب متجه في عدد ثابت بضرب القيمة المطلوبة للنorm بالقيمة المطلوبة للضرب. في هذه الحالة، يُعطى لنا أن $|\mathbf{v}| = 4$، ونريد حساب $|-3 \mathbf{v}|$.

مواضيع ذات صلة

للقيام بذلك، نقوم بضرب المتجه $\mathbf{v}$ في $-3$، ونأخذ النorm للمتجه الناتج. لدينا:

−3v=−3×[v1v2⋮vn]=[−3v1−3v2⋮−3vn]-3 \mathbf{v} = -3 \times \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3v_1 \\ -3v_2 \\ \vdots \\ -3v_n \end{bmatrix}

الآن، نحسب النorm لهذا المتجه الجديد. النorm يحسب كالتالي:

∥−3v∥=(−3v1)2+(−3v2)2+…+(−3vn)2\|-3 \mathbf{v}\| = \sqrt{(-3v_1)^2 + (-3v_2)^2 + \ldots + (-3v_n)^2}

وبما أننا لدينا قيمة النorm للمتجه الأصلي $|\mathbf{v}| = 4$، يمكننا استخدام هذه القيمة لتبسيط الحساب. نقوم بتعويض القيم ونقوم بالحساب:

∥−3v∥=(−3v1)2+(−3v2)2+…+(−3vn)2=9(v1)2+9(v2)2+…+9(vn)2=3(v1)2+(v2)2+…+(vn)2\|-3 \mathbf{v}\| = \sqrt{(-3v_1)^2 + (-3v_2)^2 + \ldots + (-3v_n)^2} = \sqrt{9(v_1)^2 + 9(v_2)^2 + \ldots + 9(v_n)^2} = 3 \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + \ldots + (v_n)^2}

وبما أن $|\mathbf{v}| = 4$، نستخدم هذه القيمة:

3(v1)2+(v2)2+…+(vn)2=3×4=123 \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + \ldots + (v_n)^2} = 3 \times 4 = 12

إذاً، $|-3 \mathbf{v}| = 12$.

المزيد من المعلومات

بالطبع، دعونا نستكمل حلاً مفصلاً للمسألة، مع التركيز على القوانين والمفاهيم المستخدمة.

المسألة تتعلق بحساب النorm (الطول) للمتجه $-3 \mathbf{v}$ عندما يكون النorm للمتجه الأصلي $\mathbf{v}$ يساوي 4.

للبداية، نتذكر أن النorm لمتجه $\mathbf{v}$ في الفضاء الثنائي ثلاثي الأبعاد يحسب بواسطة القاعدة البسيطة:

∥v∥=v12+v22+…+vn2\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2}

حيث $v_1, v_2, \ldots, v_n$ هي مكونات المتجه. في هذه الحالة، لدينا $|\mathbf{v}| = 4$، أي

v12+v22+…+vn2=4\sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldots + v_n^2} = 4

الآن، نقوم بضرب المتجه $\mathbf{v}$ في $-3$، ونحصل على المتجه الجديد $-3 \mathbf{v}$:

−3v=[−3v1−3v2⋮−3vn]-3 \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3v_1 \\ -3v_2 \\ \vdots \\ -3v_n \end{bmatrix}

ثم، نحسب النorm لهذا المتجه الجديد باستخدام القاعدة نفسها:

∥−3v∥=(−3v1)2+(−3v2)2+…+(−3vn)2\|-3 \mathbf{v}\| = \sqrt{(-3v_1)^2 + (-3v_2)^2 + \ldots + (-3v_n)^2}

ونقوم بتبسيط العبارة:

∥−3v∥=9(v1)2+9(v2)2+\ldos+9(vn)2=3(v1)2+(v2)2+\ldos+(vn)2\|-3 \mathbf{v}\| = \sqrt{9(v_1)^2 + 9(v_2)^2 + \ldos + 9(v_n)^2} = 3 \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + \ldos + (v_n)^2}

الآن، نستخدم القيمة المعطاة $|\mathbf{v}| = 4$ لتبسيط العبارة أكثر:

3(v1)2+(v2)2+\ldos+(vn)2=3×4=123 \sqrt{(v_1)^2 + (v_2)^2 + \ldos + (v_n)^2} = 3 \times 4 = 12

إذاً، تكون الإجابة النهائية $|-3 \mathbf{v}| = 12$.

القوانين المستخدمة:

  1. قانون حساب النorm: $|\mathbf{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \ldos + v_n^2}$
  2. ضرب متجه في عدد ثابت: $c \mathbf{v} = \begin{bmatrix} cv_1 \ cv_2 \ \vdots \ cv_n \end{bmatrix}$
  3. تبسيط التعابير الجذرية: $\sqrt{a^2} = |a|$

تم استخدام هذه القوانين للوصول إلى الإجابة النهائية.

اخر تحديث 13/01/2024
0