حساب النقطة الثانية على القطر (مسألة رياضيات)

نقطة $O$ هي مركز دائرة تحمل الإحداثيات $(2,3)$ على مستوى الإحداثيات. أحد نقاط القطر يقع عند $(-1,-1)$. لإيجاد إحدى نقاط القطر الأخرى، نحتاج إلى معرفة المنتصف بين النقطتين.

المنتصف بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هو $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

بالتالي، المنتصف بين $(-1,-1)$ و $(2,3)$ هو:

هذا المنتصف هو نقطة الوسط بين النقطتين على القطر. ونعرف أن المركز $O$ يكون في الوسط بين نقطتي القطر. لذا، إذا كان المركز $O$ يكون في الوسط بين $(-1,-1)$ والنقطة الثانية على القطر، يجب أن تكون النقطة الثانية على القطر متماثلة للنقطة $(-1,-1)$ بالنسبة لنقطة $(2,3)$.

بمعنى آخر، إذا كانت الفارق في الإحداثيات بين المركز $O$ ونقطة $(-1,-1)$ يساوي الفارق بين المركز $O$ والنقطة الثانية على القطر، فإن النقطة الثانية على القطر تكون $(2+1, 3+1)$.

بالتالي، إحداثيات النقطة الثانية على القطر هي $(3,4)$.

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين الأساسية في الجبر الخطي والهندسة الكونية.

1. معادلة المنتصف بين نقطتين:
   تستخدم لحساب النقطة المتوسطة بين نقطتين معطاة $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$. المعادلة هي:

   $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

   هذه المعادلة تستخدم لحساب المنتصف بين النقطتين $(-1,-1)$ و $(2,3)$.

2. خاصية الدائرة:
   المركز الهوائي للدائرة هو المركز الذي يقع في منتصف أي قطر للدائرة. وبالتالي، يكون المركز $O$ في الوسط بين النقطتين على القطر.

بناءً على هذه القوانين، يمكننا استنتاج النقطة الثانية على القطر بعد معرفة المنتصف بين النقطتين المعطاة. العملية الرئيسية هي حساب المنتصف بين النقطتين $(-1,-1)$ و $(2,3)$ لتحديد النقطة الثانية على القطر.

بما أننا حسبنا المنتصف وجدناه يساوي $(\frac{1}{2}, 1)$، نعرف أن الفارق في الإحداثيات بين المركز $O$ ونقطة $(-1,-1)$ يساوي الفارق بين المركز $O$ والنقطة الثانية على القطر. لذا، يكون النقطة الثانية على القطر تماثلية للنقطة $(-1,-1)$ بالنسبة للمركز $(2,3)$.

بالتالي، الإجابة النهائية هي النقطة $(3,4)$ كونها تماثلية للنقطة $(-1,-1)$ بالنسبة للمركز $(2,3)$.