حساب النسبة بين قطرين لكرات مختلفة (مسألة رياضيات)

حجم الكرة الكبيرة هو $288\pi$ وحدة مكعبة. حجم الكرة الصغيرة يعادل $12.5%$ من حجم الكرة الكبيرة. ما هو نسبة نصف قطر الكرة الصغيرة إلى نصف قطر الكرة الكبيرة، مع التعبير بكسر عشري؟

حجم الكرة الصغيرة يعادل $12.5%$ من حجم الكرة الكبيرة، ويمكننا حساب ذلك بواسطة العلاقة التالية:

$\text{حجم الكرة الصغيرة} = 0.125 \times \text{حجم الكرة الكبيرة}$

$\text{حجم الكرة الصغيرة} = 0.125 \times 288\pi$

$\text{حجم الكرة الصغيرة} = 36\pi$

العلاقة بين حجم الكرة ونصف قطرها تكون كالتالي:

$\text{حجم الكرة} = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث $r$ هو نصف قطر الكرة. لحساب نصف قطر الكرة الصغيرة، نستخدم العلاقة التالية:

$36\pi = \frac{4}{3} \pi r_{\text{صغير}}^3$

نقوم بحساب $r_{\text{صغير}}$:

$r_{\text{صغير}}^3 = \frac{36\pi \times 3}{4\pi}$

$r_{\text{صغير}}^3 = 27$

$r_{\text{صغير}} = 3$

الآن، نحتاج إلى حساب نصف قطر الكرة الكبيرة. استخدمنا نفس العلاقة:

$288\pi = \frac{4}{3} \pi r_{\text{كبير}}^3$

نقوم بحساب $r_{\text{كبير}}$:

$r_{\text{كبير}}^3 = \frac{288\pi \times 3}{4\pi}$

$r_{\text{كبير}}^3 = 216$

$r_{\text{كبير}} = 6$

النسبة بين نصف قطر الكرة الصغيرة والكرة الكبيرة تكون:

$\text{النسبة} = \frac{r_{\text{صغير}}}{r_{\text{كبير}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

إذاً، النسبة بين نصف قطر الكرة الصغيرة والكرة الكبيرة هي $\frac{1}{2}$.

لنقم بحل هذه المسألة بتفصيل أكثر ونُذكر القوانين المستخدمة:

المعلومات المعطاة:

1. حجم الكرة الكبيرة = $288\pi$ وحدة مكعبة.
2. حجم الكرة الصغيرة يعادل $12.5\%$ من حجم الكرة الكبيرة.

قانون حجم الكرة:
$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

حيث:

• $V$ هو حجم الكرة.
• $r$ هو نصف قطر الكرة.

نستخدم المعلومات المعطاة لحساب حجم الكرة الصغيرة:
$\text{حجم الكرة الصغيرة} = 0.125 \times \text{حجم الكرة الكبيرة}$

$\text{حجم الكرة الصغيرة} = 0.125 \times 288\pi$

$\text{حجم الكرة الصغيرة} = 36\pi$

ثم نستخدم قانون حجم الكرة لحساب نصف قطر الكرة الصغيرة:
$36\pi = \frac{4}{3} \pi r_{\text{صغير}}^3$

$r_{\text{صغير}}^3 = \frac{36\pi \times 3}{4\pi}$

$r_{\text{صغير}}^3 = 27$

$r_{\text{صغير}} = 3$

الآن، نقوم بحساب نصف قطر الكرة الكبيرة باستخدام نفس القانون:
$288\pi = \frac{4}{3} \pi r_{\text{كبير}}^3$

$r_{\text{كبير}}^3 = \frac{288\pi \times 3}{4\pi}$

$r_{\text{كبير}}^3 = 216$

$r_{\text{كبير}} = 6$

الآن، نقوم بحساب النسبة بين نصف قطر الكرة الصغيرة والكرة الكبيرة:
$\text{النسبة} = \frac{r_{\text{صغير}}}{r_{\text{كبير}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

القوانين المستخدمة:

1. قانون حجم الكرة: $V = \frac{4}{3} \pi r^3$
2. العلاقة بين حجم الكرة ونصف قطرها.
3. حساب النسبة بين نصفي قطرين مستخدمين القانون المعروف: $\text{النسبة} = \frac{r_{\text{صغير}}}{r_{\text{كبير}}}$

بهذا الشكل، نكون قد حللنا المسألة بتفصيل واستخدمنا القوانين الرياضية المتعلقة بحجم الكرة وعلاقته بنصف قطرها.