حساب المنتج النقطي للفيكتورات في الفضاء الثنائي (مسألة رياضيات)

لنكن $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ في الفضاء الثلاثي ثنائي الأبعاد، حيث تكون $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \end{bmatrix}$ و $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \end{bmatrix}$. يُعطى أن $|\mathbf{a}| = 7$ و $|\mathbf{b}| = 11$.

نعلم أن العلاقة بين طول الفيكتور ومكوناته تكون على النحو التالي:

$\|\mathbf{a}\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
$\|\mathbf{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2}$

بمراعاة هذه العلاقات، يمكننا كتابة نظام المعادلات التالي:

$\sqrt{a_1^2 + a_2^2} = 7$
$\sqrt{b_1^2 + b_2^2} = 11$

الآن، نرغب في حساب القيم الممكنة لـ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$، حيث يمثل هذا الرمز العملية الرياضية لضرب النقطة بين الفيكتورين. لحساب هذا المنتج النقطي، نستخدم الصيغة التالية:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

الآن، لنقم بحساب قيم مربعات مكونات $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ بناءً على المعادلات السابقة. بعد ذلك، يمكننا استخدامها لحساب قيم ممكنة لـ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$.

إذاً، لنقم بحساب القيم:

$a_1^2 + a_2^2 = 49$
$b_1^2 + b_2^2 = 121$

باستخدام هذه المعلومات، يمكننا القول إن القيم الممكنة لـ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ تكون في الفترة من القيم الأدنى الممكنة إلى القيمة الأعلى الممكنة. لكن لتبسيط العملية، سنفترض أن $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ يأخذ أقل قيمة عندما تأخذ المكونات الفردية لـ $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$ قيمها السالبة، ويأخذ أعلى قيمة عندما تأخذ المكونات قيمها الموجبة.

إذاً، أقل قيمة ممكنة لـ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ تكون عندما تكون جميع المكونات سالبة، وأعلى قيمة تكون عندما تكون جميع المكونات موجبة. لذلك، لنحسب هذه القيم:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}_{\text{min}} = (-7) \times (-11) = 77$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}_{\text{max}} = 7 \times 11 = 77$

إذاً، جميع القيم الممكنة لـ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ تتراوح بين 77 و 77. وبالتالي، يمكننا تقديم الإجابة في صورة فاصلة:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \in [77, 77]$

لنحل المسألة، سنقوم بتحليل القوانين والمفاهيم الرياضية التي تستخدم في الحسابات الفضائية وحساب المنتج النقطي بين الفيكتورين.

أولاً، دعونا نعرف ما هي الفضاء الثنائي الأبعاد وكيفية تمثيل الفيكتور في هذا السياق. في الفضاء الثنائي، يمكننا تمثيل الفيكتور $\mathbf{a}$ بواسطة مصفوفة عمودية:

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$

حيث $a_1$ و $a_2$ هما مكونات الفيكتور في اتجاهات الفضاء.

القاعدة الأساسية هي أن طول الفيكتور يحسب باستخدام المسافة الأقطارية، وهي تعطى بواسطة المعادلة:

$\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

حيث $v_1$ و $v_2$ هما مكونات الفيكتور $\mathbf{v}$.

في هذه المسألة، نستخدم هذه الفكرة لحساب طول $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$. عندما نعلم أن $|\mathbf{a}| = 7$ و $|\mathbf{b}| = 11$، نستخدم هذه المعلومات لإعادة صياغة المعادلات كالتالي:

$\sqrt{a_1^2 + a_2^2} = 7$
$\sqrt{b_1^2 + b_2^2} = 11$

نقوم برفع كل طرف في المعادلات إلى الأساس 2 للتخلص من الجذور، ونحصل على:

$a_1^2 + a_2^2 = 49$
$b_1^2 + b_2^2 = 121$

هذه المعادلات تمثل دائرتين في الفضاء، حيث الشعاع للدائرة الأولى هو 7 وللدائرة الثانية هو 11.

الآن، لحساب المنتج النقطي $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$، نستخدم العلاقة:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

لحساب القيم الممكنة، نفترض أقل قيمة ممكنة عندما تكون جميع المكونات سالبة وأعلى قيمة عندما تكون جميع المكونات موجبة. بالتالي، نحسب:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}_{\text{min}} = (-7) \times (-11) = 77$
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}_{\text{max}} = 7 \times 11 = 77$

القانون الأساسي المستخدم هو قانون بيثاغورث لحساب الأطوال في الفضاء الثنائي. الفكرة هي تحويل المشكلة إلى معادلات رياضية واستخدام القوانين المعروفة لحل هذه المعادلات.

إجابة المسألة هي أن جميع القيم الممكنة لـ $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ تقع في الفترة من 77 إلى 77، وتمثل هذه الفترة في العلامة الاقتراضية كـ $[77, 77]$.