حساب المعينة لمصفوفة ثلاثية التناظر (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة باللغة العربية:

لنفترض أن $a،$ $b،$ $c$ هي جذور معادلة $x^3 + px + q = 0$. قم بحساب المعينة التالية:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}.$

الحل:

نعلم من نظرية المعادلات أن مجموع الجذور لأي معادلة من الدرجة الثالثة يساوي صفرًا، أي $a + b + c = 0$.

نحتاج أيضًا إلى ملاحظة مهمة هي أن المعينة لمصفوفة تكون متناظرة، أي:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a & b & c \\ a & b & c \end{vmatrix}.$

نحتاج الآن لحساب المعينة. لنقم بتوسيع المعينة عن طريق الصفوف الثانية والثالثة. سنحصل على التالي:

$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = a(ba – cb) – b(ab – ca) + c(ac – bc).$

الآن لنستبدل القيم باستخدام العلاقة $a + b + c = 0$:
$= a^2 – b^2 + c^2.$

نستطيع الآن تعويض $c = -(a + b)$:
$= a^2 – b^2 + (a + b)^2.$

وهنا يمكننا استخدام الهوية $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$= a^2 – b^2 + a^2 + 2ab + b^2.$

الآن نرى أن $a^2 – b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 2a^2 + 2ab$.

وهذا الأمر يتبقى لنا فقط لتعويض $a = -(b + c)$:
$= 2(-(b + c))^2 + 2(-(b + c)b).$

قم بتبسيط العبارة:
$= 2(b^2 + 2bc + c^2) – 2b^2 – 2bc.$

أخيرًا، نلاحظ أن جميع العناصر تتحول إلى صفر بسبب التبسيط، وبالتالي المعينة تساوي صفر:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0.$

وبالتالي قيمة المجهول $X$ هي صفر.

لحل مسألة حساب المعينة للمصفوفة المعطاة، يمكننا استخدام العديد من القواعد والمفاهيم في الجبر الخطي ونظرية المعادلات. إليك الخطوات التفصيلية لحل المسألة مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. المعرفة الأولية:
   نعطي في المسألة أن $a،$ $b،$ $c$ هي جذور معادلة $x^3 + px + q = 0$.

2. العلاقة بين الجذور والمعاملات:
   نعلم من نظرية المعادلات أنه إذا كانت $a،$ $b،$ $c$ هي جذور المعادلة، فإن:

   • $a + b + c = 0$
   • $ab + bc + ac = p$
   • $abc = -q$

3. قوانين المعينات:

   • المعينة لمصفوفة $3 \times 3$ تُعطى بواسطة تركيب خطي للأعمدة أو الصفوف.
   • إذا كانت مصفوفة متناظرة، فإن المعينة تكون صفرية.
   • لمصفوفة متناظرة $\begin{vmatrix} a & b \ b & a \end{vmatrix}$، المعينة تُحسب بالصيغة $a^2 – b^2$.

4. حساب المعينة:
   قمنا بتوسيع المعينة للمصفوفة المعطاة:
   $\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}.$
   باستخدام الصفوف الثانية والثالثة، ونحصل على:
   $= a(ba – cb) – b(ab – ca) + c(ac – bc).$
   بتبسيط العبارة، نجد أنها تتحول إلى $a^2 – b^2 + c^2$.

5. تعويض القيم:
   نستخدم العلاقات المعرفة مسبقًا لتعويض القيم في المعينة.

6. التبسيط:
   نقوم بتبسيط المعينة باستخدام العلاقات المعرفة مسبقًا.

7. الاستنتاج:
   بعد التبسيط، وجدنا أن المعينة تساوي صفر، مما يعني أن المصفوفة المعطاة هي متناظرة وبالتالي معينتها تساوي صفر.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع حساب المعينة والوصول إلى الإجابة النهائية التي هي صفر، وبالتالي قيمة المجهول $X$ تكون أيضًا صفر.