حساب المعامل لجعل (x – 5) عاملًا (مسألة رياضيات)

لجعل $(x – 5)$ عاملًا للمتعدد $P(x) = x^3 + 2x^2 + cx + 10$، يجب أن نجد القيمة المناسبة لمعامل $c$.

المتعدد $P(x)$ يمكن كتابته على النحو التالي:

$P(x) = x^3 + 2x^2 + cx + 10$

عندما نقوم بقسمة $P(x)$ على $(x – 5)$ باستخدام القسمة الطويلة، نحصل على باقي يساوي صفر:

الباقي النهائي هو $40$. ولكي يكون الباقي صفرًا، يجب أن يكون المعامل المفقود $c$ يساوي $40$. إذاً، لجعل $(x – 5)$ عاملًا لـ $P(x)$، يجب أن يكون المعامل $c$ يساوي $40$.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة القسمة الطويلة. هذه القاعدة تقول إنه عند قسم متعدد $P(x)$ على عامل $(x – a)$، فإن الباقي يكون متعددًا من درجة أقل من المقام. في حالتنا، نستخدم هذه القاعدة لقسمة $P(x)$ على $(x – 5)$.

لنكتب المعادلة مرة أخرى:

$P(x) = x^3 + 2x^2 + cx + 10$

نقوم بتنظيم العملية باستخدام القسمة الطويلة:

الباقي هو $7x^2 + cx + 10$. وفي هذه الحالة، نريد أن يكون الباقي يساوي صفر، لكي يكون $(x – 5)$ عاملاً لـ $P(x)$.

القاعدة الرئيسية هي أنه عندما نقوم بقسم $P(x)$ على $(x – a)$، يجب أن يكون باقي القسمة هو صفر. بالتالي، نحن نحصل على معادلة:

$7x^2 + cx + 10 = 0$

الآن، نريد أن نجعل الباقي صفراً عند قيمة معينة لـ $x$. في هذه الحالة، نستخدم $x = 5$ (لأننا نقوم بقسم على $(x – 5)$). نضع قيمة $x = 5$ في المعادلة:

$7(5)^2 + c(5) + 10 = 0$

$175 + 5c + 10 = 0$

$5c = -185$

$c = -37$

إذاً، لجعل $(x – 5)$ عاملاً لـ $P(x)$، يجب أن يكون المعامل المفقود $c$ يساوي $-37$.