حساب المعادلات للبيضاوي: تحليل وتطبيقات (مسألة رياضيات)

نعتبر المعادلة الخاصة بالبيضاوي كما هو موضح أعلاه:
$\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1.$
نريد حساب قيمة $h + k + a + b.$

نقارن المعادلة المعطاة مع المعادلة القياسية للبيضاوي:
$\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1.$

نجد أن $h$ هو مركز البيضاوي، وهو $(-4, 2)$ في هذه الحالة، لذا $h = -4.$ بالتالي، نعود ونقوم بتعويض قيمة $h$ في المعادلة:
$\frac{(x + 4)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1.$

نستنتج أن مركز البيضاوي على الأكس هو $-4$.

بالنسبة للقيمة $k$، فهي موجودة في الجزء الثاني من المعادلة، وهي تمثل موضع مركز البيضاوي على الوتر، وهو $(h, k) = (-4, 2).$

لدينا الآن:
$\frac{(x + 4)^2}{a^2} + \frac{(y – 2)^2}{b^2} = 1.$

من خلال النظر إلى المعادلة، نستنتج أن قيم $a$ و $b$ تظهر كقواسم في جهة الأكس وجهة الوتر على التوالي. لذا:
$a = 5 \quad \text{و} \quad b = 3.$

نتركب قيم الأشكال المعروفة في المعادلة:
$\frac{(x + 4)^2}{5^2} + \frac{(y – 2)^2}{3^2} = 1.$

الآن، لحساب $h + k + a + b$، نجمع القيم المعنية:
$-4 + 2 + 5 + 3 = 6.$

إذاً، القيمة المطلوبة هي $h + k + a + b = 6.$

سنقوم بحساب قيمة $h + k + a + b$ من خلال فهم وتحليل المعادلة الخاصة بالبيضاوي واستخدام بعض القوانين الرياضية.

المعادلة العامة للبيضاوي هي:
$\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1.$

حيث:

• $(h, k)$ هي مواقع مركز البيضاوي على محوري $x$ و $y$ على التوالي.
• $a$ هو الشعاع الرئيسي للبيضاوي في اتجاه المحور $x$.
• $b$ هو الشعاع الرئيسي للبيضاوي في اتجاه المحور $y$.

في هذه المسألة، المعادلة هي:
$\frac{(x + 4)^2}{5^2} + \frac{(y – 2)^2}{3^2} = 1.$

لنقوم بتحليل هذه المعادلة:

• القيمة $-4$ في $(x + 4)$ تشير إلى أن مركز البيضاوي على محور $x$ هو $-4$.
• القيمة $2$ في $(y – 2)$ تشير إلى أن مركز البيضاوي على محور $y$ هو $2$.
• القيمة $5$ في مقام الكسر $(x + 4)^2$ تشير إلى أن الشعاع الرئيسي في اتجاه المحور $x$ هو $5$.
• القيمة $3$ في مقام الكسر $(y – 2)^2$ تشير إلى أن الشعاع الرئيسي في اتجاه المحور $y$ هو $3$.

الآن، لحساب قيمة $h + k + a + b$، نجمع القيم المتعلقة:
$(-4) + (2) + (5) + (3) = 6.$

قوانين الحل:

1. تحليل المعادلة: استخدمنا المعادلة العامة للبيضاوي لفهم توزيع المركز والشعاع الرئيسي.
2. تحديد القيم: قمنا بتحديد قيم مركز البيضاوي $(h, k)$ والشعاع الرئيسي في اتجاهي $x$ و $y$.
3. جمع القيم: قمنا بجمع القيم للحصول على الناتج النهائي $h + k + a + b$.

باختصار، تمثل هذه العملية استخدام مفاهيم الهندسة الرياضية والجبر لتحليل وفهم المعادلة واستنتاج المعلومات المطلوبة.