حساب المصفوفات: ضرب وقيمة متغير X (مسألة رياضيات)

نقوم بضرب المصفوفتين المعطاة:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -3 \\ -1 & 4 & X \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

لحساب العناصر في المصفوفة الناتجة، نستخدم قاعدة الضرب للمصفوفات، حيث نقوم بضرب كل صف في المصفوفة الأولى في كل عمود في المصفوفة الثانية، ونجمع النواتج. دعونا نقوم بذلك:

$\text{الصف الأول: } \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = 1 \times 2 + 1 \times 1 + (-2) \times 4 = -5.$

$\text{الصف الثاني: } \begin{pmatrix} 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \times (-2) + 4 \times 0 + (-3) \times 0 = 0.$

$\text{الصف الثالث: } \begin{pmatrix} -1 & 4 & X \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = (-1) \times 0 + 4 \times (-3) + X \times 0 = -12.$

$\text{الصف الأول: } \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \times 0 + 1 \times (-3) + (-2) \times 0 = -3.$

$\text{الصف الثاني: } \begin{pmatrix} 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0.$

$\text{الصف الثالث: } \begin{pmatrix} -1 & 4 & X \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = (-1) \times 0 + 4 \times 0 + X \times 1 = X.$

$\text{الصف الأول: } \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \times 4 + 1 \times 0 + (-2) \times 0 = 4.$

$\text{الصف الثاني: } \begin{pmatrix} 0 & 4 & -3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0.$

$\text{الصف الثالث: } \begin{pmatrix} -1 & 4 & X \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0.$

لذا، المصفوفة الناتجة هي:

$\begin{pmatrix} -5 & -2 & -3 \\ -8 & 0 & -12 \\ 14 & 2 & -12 \end{pmatrix}.$

وعليه، قيمة المتغير المجهول $X$ هي -12.

لنقم بحساب المصفوفة الناتجة من الضرب، نستخدم قوانين الضرب للمصفوفات. القوانين المستخدمة تشمل:

1. قاعدة الضرب العامة:
   إذا كانت لدينا مصفوفتين $A$ و $B$ حجمهما (m × n) و (n × p) على التوالي، فإن المصفوفة الناتجة $C$ ستكون حجمها (m × p)، ويمكن حساب عناصرها كالتالي:

   $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \times B_{kj}.$

2. ضرب المصفوفة في المتجه:
   إذا كانت لدينا مصفوفة $A$ حجمها (m × n) ومتجه $v$ حجمه (n × 1)، فإن المصفوفة الناتجة $B$ ستكون حجمها (m × 1)، ويمكن حساب عناصرها كالتالي:

   $B_i = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \times v_k.$

لحساب المصفوفة الناتجة للمسألة المعطاة:

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 4 & -3 \\ -1 & 4 & X \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 \\ 1 & 0 & -3 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

نستخدم القاعدة العامة للضرب ونقوم بحساب كل عنصر في المصفوفة الناتجة باستخدام الصفوف من المصفوفة الأولى والأعمدة من المصفوفة الثانية. الآن سنحسب كل صف من المصفوفة الناتجة:

$\text{الصف الأول:}$
$C_{11} = (1 \times 2) + (1 \times 1) + (-2 \times 4) = -5.$

$\text{الصف الثاني:}$
$C_{21} = (0 \times 2) + (4 \times 1) + (-3 \times 4) = -2.$

$\text{الصف الثالث:}$
$C_{31} = (-1 \times 2) + (4 \times 1) + (X \times 4) = -3 + 4 + 4X.$

$\text{الصف الأول:}$
$C_{12} = (1 \times (-2)) + (1 \times 0) + (-2 \times 0) = -2.$

$\text{الصف الثاني:}$
$C_{22} = (0 \times (-2)) + (4 \times 0) + (-3 \times 0) = 0.$

$\text{الصف الثالث:}$
$C_{32} = (-1 \times (-2)) + (4 \times 0) + (X \times 0) = 2.$

$\text{الصف الأول:}$
$C_{13} = (1 \times 0) + (1 \times (-3)) + (-2 \times 0) = -3.$

$\text{الصف الثاني:}$
$C_{23} = (0 \times 0) + (4 \times (-3)) + (-3 \times 0) = -12.$

$\text{الصف الثالث:}$
$C_{33} = (-1 \times 0) + (4 \times (-3)) + (X \times 0) = -12.$

إذاً، المصفوفة الناتجة هي:

$\begin{pmatrix} -5 & -2 & -3 \\ -8 & 0 & -12 \\ 2 & 0 & -12 \end{pmatrix}.$

ونعلم أن الإجابة الصحيحة هي:

$\begin{pmatrix} -5 & -2 & -3 \\ -8 & 0 & -12 \\ 14 & 2 & -12 \end{pmatrix}.$

لذا، يجب أن يكون قيمة المتغير $X$ هي -12 لتتناسب الإجابة المعطاة مع الإجابة الصحيحة.