حساب المصطلح الثابت بالجبر (مسألة رياضيات)

المطلوب هو حساب المصطلح الثابت في توسيع تعبير $(x^4+x+5)(x^5+x^3+15)$. للقيام بذلك، يجب علينا ضرب كل مصطلح في العبارتين معًا وجمع المصطلحات المتشابهة.

العبارة المعطاة:
$(x^4+x+5)(x^5+x^3+15)$

لنقم بضرب كل مصطلح في العبارتين معًا:

$x^4 \cdot x^5 + x^4 \cdot x^3 + x^4 \cdot 15 + x \cdot x^5 + x \cdot x^3 + x \cdot 15 + 5 \cdot x^5 + 5 \cdot x^3 + 5 \cdot 15$

الآن سنقوم بتجميع المصطلحات المتشابهة:

$x^9 + x^7 + 15x^4 + x^6 + x^4 + 15x + 5x^5 + 5x^3 + 75$

ثم يمكن ترتيبها بشكل تنازلي من حيث الأس:

$x^9 + x^7 + 5x^5 + x^6 + 16x^4 + 5x^3 + 15x + 75$

والآن بعد العمليات الحسابية، نجد أن المصطلح الثابت في هذا التوسيع هو 75.

لحل هذه المسألة، سنقوم بضرب كل مصطلح في العبارتين معًا باستخدام قوانين الجبر. الهدف هو العثور على المصطلح الثابت في التوسيع. سنقوم بتطبيق قوانين الجبر التالية:

1. قانون الضرب التوسيعي (Distributive Property):
   $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

   سنستخدم هذا القانون لضرب كل مصطلح في $(x^4+x+5)$ مع كل مصطلح في $(x^5+x^3+15)$.

2. قوانين الأسس (Laws of Exponents):
   $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$
   يتيح لنا هذا القانون جمع الأسس عند الضرب.

3. تجميع المصطلحات المتشابهة:
   بعد الضرب، نجمع المصطلحات التي تحتوي على نفس الأس.

لنقم بتطبيق هذه القوانين:

العبارة المعطاة:
$(x^4+x+5)(x^5+x^3+15)$

نبدأ بضرب كل مصطلح في $(x^4+x+5)$ مع كل مصطلح في $(x^5+x^3+15)$:

$x^4 \cdot x^5 + x^4 \cdot x^3 + x^4 \cdot 15 + x \cdot x^5 + x \cdot x^3 + x \cdot 15 + 5 \cdot x^5 + 5 \cdot x^3 + 5 \cdot 15$

ثم نجمع المصطلحات المتشابهة:

$x^9 + x^7 + 15x^4 + x^6 + x^4 + 15x + 5x^5 + 5x^3 + 75$

ثم نقوم بترتيبها بشكل تنازلي من حيث الأس:

$x^9 + x^7 + 5x^5 + x^6 + 16x^4 + 5x^3 + 15x + 75$

وبهذا نجد أن المصطلح الثابت في هذا التوسيع هو 75.