حساب المستويات العمودية: الجبر والتحليل الرياضي. (مسألة رياضيات)

نُعطى الدالة التالية:
$f(x) = \frac{x+4}{x^2+ax+b}$
ونعلم أن لدينا نقطتين على الأقل كمستويات عمودية عند $x = 1$ و $x = -2$.

بما أن $x = 1$ و $x = -2$ نقطتان على المستوى العمودي، فإن القيمة الموجودة في المقام للدالة تجعل المقام يساوي الصفر لكل من $x = 1$ و $x = -2$. لذلك، نحصل على العلاقتين التاليتين:

$1^2 + a(1) + b = 0$
$(-2)^2 + a(-2) + b = 0$

يمكننا حل هذه المعادلتين للحصول على قيم $a$ و $b$.

لنبدأ بحل المعادلة الأولى:
$1 + a + b = 0$
وبما أننا نعرف أن $b = -1 – a$، فإننا نحصل على:
$1 + a + (-1 – a) = 0$
$1 – 1 = 0$
$0 = 0$
المعادلة الأولى صحيحة.

الآن، لنحل المعادلة الثانية:
$4 – 2a + b = 0$
نستخدم العلاقة $b = -1 – a$ مرة أخرى:
$4 – 2a + (-1 – a) = 0$
$3 – 3a = 0$
$a = 1$

الآن، بمعرفة قيمة $a$، يمكننا حساب قيمة $b$ باستخدام العلاقة $b = -1 – a$:
$b = -1 – 1 = -2$

بالتالي، القيمة المطلوبة لمجموع $a$ و $b$ هي:
$a + b = 1 + (-2) = -1$

لحل المسألة واستنتاج قيم $a$ و $b$، يتطلب الأمر استخدام عدة مفاهيم وقوانين من الجبر والتحليل الرياضي. سنقوم بشرح الخطوات بالتفصيل مع ذكر القوانين المستخدمة:

1. العثور على المستويات العمودية (الأسيمبتوتات الرأسية):
   المستوى العمودي عند $x = a$ في الدالة $f(x)$ هو نقطة حيث تصبح الدالة غير محددة (تساوي لا مالا نهائياً). في حالتنا، نحن نعرف أن لدينا مستويات عمودية عند $x = 1$ و $x = -2$.

2. خصائص المستويات العمودية:
   عندما تكون الدالة $f(x)$ غير محددة (تساوي لا مالا نهائياً) عند $x = a$، فإن المقام $x^2 + ax + b$ يساوي صفر. هذا يأتي من تحليل سلوك الدالة عند $x = a$ حيث يكون المقام يتلاشى (يتساوى صفر) والبسط غير محدد.

3. تحليل المقام:
   بما أننا نعرف أن المقام يتساوى صفر عند $x = 1$ و $x = -2$، يمكننا كتابة المعادلات التالية:
   $1^2 + a(1) + b = 0$
   $(-2)^2 + a(-2) + b = 0$

4. حل المعادلات:
   نحل المعادلات السابقة للعثور على قيم $a$ و $b$ التي تلبي شروط المستويات العمودية.

5. الجمع بين $a$ و $b$:
   بعد حساب قيم $a$ و $b$، نقوم بجمعهما للحصول على الإجابة النهائية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المذكورة، يمكننا حل المسألة بدقة والتوصل إلى الإجابة الصحيحة.