حساب المستقيم الباعث للبارابولا (مسألة رياضيات)

المعادلة الخطية لمستقيم الباعث للقطعة المخروطية $y = -2x^2 + 4x – X$ هي:
$y = -\frac{47}{8}$

لحساب قيمة المتغير $X$، يتعين أن نعادل قيمة المعادلة المعطاة للمستقيم، وهي $-\frac{47}{8}$، مع المعادلة المطلوبة للقطعة المخروطية. بما أن المستقيم هو المستقيم المنحني الذي يكمل الصورة الكاملة للقطعة المخروطية، فإنه يمثل نقطة ثابتة على الجانب المقابل للنقطة الفوكية للقطعة المخروطية.

بما أن المستقيم يكون في موضع متعامد على المحور $x$ في الفضاء الكارتيزي، فإنه يمر عبر النقطة $(h, k+p)$ حيث $(h, k)$ تمثل النقطة الفوكية للقطعة المخروطية و $p$ يمثل المسافة بين النقطة الفوكية والمستقيم المنحني (مسافة الباعث).

للعثور على قيمة $X$، يتم تعويض قيمة $-\frac{47}{8}$ في المعادلة المعطاة للمستقيم، والتي هي $y = -\frac{47}{8}$. وهذا يعني أنه يجب أن تتساوى النتيجة مع المعادلة المعطاة للقطعة المخروطية:
$-\frac{47}{8} = -2h^2 + 4h – X$

وبما أن القطعة المخروطية موجهة رأسيًا، فإن النقطة $(h, k)$ هي $(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})$، حيث $a$ و $b$ و $\Delta$ تمثل الأساس والقاعدة والمعادلة التفاضلية على التوالي. في هذه الحالة:
$h = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2*(-2)} = 1$
$k = \frac{-\Delta}{4a} = \frac{-\Delta}{4*(-2)} = \frac{\Delta}{-8}$

حيث $\Delta = b^2 – 4ac$.

نقوم الآن بتعويض $h$ و $k$ في المعادلة للعثور على قيمة $X$:
$-\frac{47}{8} = -2(1)^2 + 4(1) – X$
$-\frac{47}{8} = -2 + 4 – X$
$-\frac{47}{8} = 2 – X$
$X = 2 – \left(-\frac{47}{8}\right)$
$X = 2 + \frac{47}{8}$
$X = \frac{16}{8} + \frac{47}{8}$
$X = \frac{16 + 47}{8}$
$X = \frac{63}{8}$

إذاً، القيمة المفقودة للمتغير $X$ هي $\frac{63}{8}$.

لحل المسألة، نستخدم القوانين الأساسية للمخططات الهندسية والجبرية. هذه القوانين تشمل:

1. معادلة القطعة المخروطية للبارابولا: $y = ax^2 + bx + c$ حيث $a$، $b$، و$c$ هي الثوابت.

2. صيغة المستقيم الباعث للبارابولا: $y = p$ حيث $p$ هو مسافة المستقيم عن نقطة الفوكس.

3. معادلة المنحنى السلس للبارابولا: $y = -2x^2 + 4x – X$.

4. معادلة المنحنى السلس للبارابولا في الشكل القياسي: $y = a(x – h)^2 + k$.

5. معادلة المنحنى السلس للبارابولا في الشكل العام: $y = ax^2 + bx + c$.

6. صيغة التناظر للبارابولا: $(x – h)^2 = 4a(y – k)$.

7. قواعد التناظر في الفضاء الكارتيزي.

الخطوات التي اتبعناها في الحل كانت كالتالي:

1. تحديد معادلة القطعة المخروطية للبارابولا بالاعتماد على المعطيات المعطاة، وهي $y = -2x^2 + 4x – X$.

2. استخدام خاصية التناظر في البارابولا لحساب موقع المستقيم المنحني.

3. استخدام الخطوط الموازية في الفضاء الكارتيزي لتحديد مسافة المستقيم عن نقطة الفوكس.

4. حل المعادلة للعثور على قيمة $X$.

5. التحقق من الحل والتأكد من صحته.

هذه الخطوات توفر إطاراً عاماً للحل، وتسمح بتطبيق القوانين والمفاهيم الرياضية في حل المسألة.