مسائل رياضيات

حساب المسافة بين نقطتين في النظام الإحداثي (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 27/01/2024
6

المسألة الرياضية:

ما هو المسافة بين نقطتين في النظام الإحداثي تحدد بالإحداثيات التالية: النقطة الأولى (-2, 4) والنقطة الثانية (3, -8)؟

مواضيع ذات صلة

حل المسألة:

لحساب المسافة بين هاتين النقطتين، يمكننا استخدام معادلة المسافة بين نقطتين في النظام الإحداثي، والتي تُعطى بواسطة القاعدة التالية: المسافة بين نقطتين (x1,y1)(x_1, y_1) و (x2,y2)(x_2, y_2) هي جذر مربعي لمجموع الفروقات المربعية بين الإحداثيات الثنائية للنقطتين.

لذا، نبدأ بحساب الفروقات بين الإحداثيات للنقطتين:

Δx=x2−x1=3−(−2)=3+2=5\Delta x = x_2 – x_1 = 3 – (-2) = 3 + 2 = 5
Δy=y2−y1=(−8)−4=−8−4=−12\Delta y = y_2 – y_1 = (-8) – 4 = -8 – 4 = -12

الآن، نقوم بحساب مربعي الفروقات:

(Δx)2=52=25(\Delta x)^2 = 5^2 = 25
(Δy)2=(−12)2=144(\Delta y)^2 = (-12)^2 = 144

بعد ذلك، نجمع المربعين معًا:

(Δx)2+(Δy)2=25+144=169(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 = 25 + 144 = 169

وأخيرًا، نقوم بأخذ الجذر التربيعي للناتج للحصول على المسافة الفعلية بين النقطتين:

المسافة=169=13\text{المسافة} = \sqrt{169} = 13

إذاً، المسافة بين النقطتين (-2, 4) و (3, -8) هي 13 وحدة.

المزيد من المعلومات

في حل مسألة حساب المسافة بين نقطتين في النظام الإحداثي، نعتمد على مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية الأساسية. سأوضح بعض التفاصيل الإضافية للحل والقوانين المستخدمة:

  1. الموقع في النظام الإحداثي: نقاط الإحداثيات في النظام الإحداثي تُحدد بزوج من الأرقام (x، y)، حيث يُمثل x الموضع على المحور الأفقي (المحور x) ويُمثل y الموضع على المحور الرأسي (المحور y).

  2. معادلة المسافة بين نقطتين: تُستخدم معادلة المسافة بين نقطتين في النظام الإحداثي لحساب المسافة بينهما. وتُعطى هذه المعادلة بالشكل التالي:

    المسافة=(Δx)2+(Δy)2\text{المسافة} = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}

    حيث Δx\Delta x تمثل الفارق بين الإحداثيات x للنقطتين، وΔy\Delta y تمثل الفارق بين الإحداثيات y للنقطتين.

  3. قانون بيثاغورس: في المعادلة السابقة، نستخدم قانون بيثاغورس لحساب المسافة. ويقول هذا القانون إن في المثلث القائم الزاوية، مربع طول الوتر (المسافة بين النقطتين) يُساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المتجاورين.

  4. الجذور التربيعية: في النهاية، نستخدم الجذر التربيعي للحصول على القيمة الإيجابية للمسافة.

تطبيقًا على المسألة المعطاة، استخدمنا هذه القوانين والمفاهيم لحساب المسافة بين النقطتين (-2, 4) و (3, -8). بتطبيق معادلة المسافة بين النقطتين وقانون بيثاغورس، قمنا بحساب فروقات الإحداثيات بين النقطتين، ثم قمنا برفعها إلى الأس الثاني وجمعها، وأخيرًا أخذنا الجذر التربيعي للمجموع للحصول على المسافة النهائية.

هذه العملية تستند إلى مفاهيم رياضية أساسية تُستخدم في حسابات الهندسة الرياضية والجبر الخطي، وهي أساسية في فهم العلاقات المكانية والمسافات بين النقاط في النظام الإحداثي.

اخر تحديث 27/01/2024
6