حساب المسافة بين نقطتين في الفراغ (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تطلب حساب المسافة بين نقطتين في الفراغ باستخدام إحدى الصيغ الهندسية المعروفة. سنستخدم هنا صيغة مسافة بين نقطتين في الفراغ، والتي تُعبر عن المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ باستخدام العلاقة التالية:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

في حالتنا، نريد حساب المسافة بين النقطتين (3, -2) و (7, 5). لذا، سنقوم بتعيين القيم التالية:

$x_1 = 3, \quad y_1 = -2, \quad x_2 = 7, \quad y_2 = 5$

ثم نقوم بتطبيق هذه القيم في الصيغة للحصول على المسافة:

$d = \sqrt{(7 – 3)^2 + (5 – (-2))^2}$

$d = \sqrt{4^2 + 7^2}$

$d = \sqrt{16 + 49}$

$d = \sqrt{65}$

إذاً، المسافة بين النقطتين هي $\sqrt{65}$ وهذا هو الجواب على المسألة.

لنقم بحساب المسافة بين النقطتين (3, -2) و (7, 5)، سنستخدم قاعدة مهمة في الهندسة الفراغية تعرف باسم “قاعدة فيثاغورس”. هذه القاعدة تنص على أن في المثلث القائم الزاوي (الذي يحتوي على زاوية قائمة، أي 90 درجة)، مربع طول الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) يكون مساويًا لجمع مربعي طول الضلعين الآخرين.

لتطبيق هذه القاعدة على المسألة، سنستخدم النقطتين كنقاط النهاية للوتر (الضلع الرئيسي في المثلث) ونقوم بحساب المسافة بينهما. لنعين النقطة (3, -2) كـ $(x_1, y_1)$ والنقطة (7, 5) كـ $(x_2, y_2)$.

قانون حساب المسافة بين نقطتين في الفراغ يأخذ الشكل التالي:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث:

• $x_1$ و $y_1$ هما الإحداثيات للنقطة الأولى.
• $x_2$ و $y_2$ هما الإحداثيات للنقطة الثانية.

في هذه المسألة، سنعين قيم الإحداثيات كالآتي:

• $x_1 = 3$
• $y_1 = -2$
• $x_2 = 7$
• $y_2 = 5$

نقوم بوضع هذه القيم في الصيغة:
$d = \sqrt{(7 – 3)^2 + (5 – (-2))^2}$

نقوم بحساب الفرق والتربيع:
$d = \sqrt{4^2 + 7^2}$

ثم نجمع التربيعات:
$d = \sqrt{16 + 49}$

وأخيرًا، نقوم بحساب الجذر التربيعي للمجموع:
$d = \sqrt{65}$

لذا، المسافة بين النقطتين (3, -2) و (7, 5) تكون $\sqrt{65}$ وهذا هو الجواب.