حساب المسافة بين نقطتين تقاطع على محور الإكس (مسألة رياضيات)

نظرًا لأن النقطة (10،15) هي تقاطع خطين، الأول له ميل يساوي 3 والآخر له ميل يساوي 5، نرغب في حساب المسافة بين نقطتي تقاطع الخطوط مع محور الإكس.

لحساب موقع نقطة التقاطع مع محور الإكس، يمكننا استخدام المعادلة العامة للخطوط، والتي تكون على النحو التالي:

$y = mx + b$

حيث:

• $y$ هو الإحداثيات العمودية (في هذه الحالة 15).
• $m$ هو الميل (في هذه الحالة 3 أو 5).
• $x$ هو الإحداثيات الأفقية (في هذه الحالة ما نريد حسابه).
• $b$ هو قطع الخط مع محور الإكس.

نقوم بحساب قيم $x$ للنقطة على الخطين باستخدام الميل والإحداثيات:

للخط الأول (الميل = 3):
$15 = 3x + b$
$b = 15 – 3x$

للخط الثاني (الميل = 5):
$15 = 5x + b$
$b = 15 – 5x$

نجمع المعادلتين معًا للحصول على قيمة $x$:

$15 – 3x = 15 – 5x$
$2x = 0$
$x = 0$

الآن بمعرفة قيمة $x$ (التي تكونت 0)، يمكننا حساب المسافة بين نقطتي التقاطع. المسافة بين نقطتين على المحور الأفقي هي فارق قيم الإحداثيات الأفقية لهما. في هذه الحالة، المسافة تكون:

$\text{المسافة} = |x_1 – x_2| = |0 – 0| = 0$

إذا كانت المسافة بين نقطتي التقاطع على المحور الأفقي تساوي 0.

لنقم بحساب الموقع الأفقي لنقطة التقاطع مع محور الإكس، يمكننا استخدام المعادلة العامة للخطوط $y = mx + b$ حيث $m$ هو الميل و$b$ هو قطع الخط مع محور الإكس. سنقوم بذلك للخطين ذوي الميلين 3 و 5 على التوالي.

للخط ذو الميل 3:
$y = 3x + b$

نستخدم النقطة (10،15) لحساب قيمة $b$:
$15 = 3 \times 10 + b$
$b = 15 – 30 = -15$

لذا، المعادلة للخط الأول هي:
$y = 3x – 15$

للخط ذو الميل 5:
$y = 5x + b$

نستخدم النقطة (10،15) مرة أخرى لحساب قيمة $b$:
$15 = 5 \times 10 + b$
$b = 15 – 50 = -35$

لذا، المعادلة للخط الثاني هي:
$y = 5x – 35$

الآن، نقوم بحساب نقطة التقاطع عندما تكون $y$ متساوية في الخطين. لذا، نحسب $x$ كالتالي:
$3x – 15 = 5x – 35$
$2x = 20$
$x = 10$

الآن، نعلم أن نقطة التقاطع على محور الإكس هي (10،0)، حيث $y$ تكون 0. لحساب المسافة بين نقطتي التقاطع، نستخدم الفارق بين الإحداثيات الأفقية:

$\text{المسافة} = |x_1 – x_2| = |10 – 10| = 0$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. معادلة الخط العامة $y = mx + b$: حيث $m$ هو الميل و$b$ هو قطع الخط مع محور الإكس.
2. حساب نقطة التقاطع: باستخدام المعادلات لحساب قيم $x$ و $y$ عند نقاط التقاطع.
3. حساب المسافة بين نقطتين على المحور الأفقي: باستخدام فارق الإحداثيات الأفقية بين النقطتين.