حساب المسافة بين نقطة وخط في الفضاء الثلاثي. (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد المسافة بين النقطة $(1,2,3)$ والمستقيم الذي يمثله المعادلة:
$\begin{pmatrix} 6 \\ X \\ 7 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$

لحساب المسافة بين النقطة والمستقيم، يمكننا استخدام طريقة استخدام قانون القطع المكافئ. نحتاج أولاً إلى إيجاد نقطة على المستقيم قريبة من النقطة الأولى.

نبدأ بكتابة معادلات المستقيم:
$x = 6 + 3t$
$y = X + 2t$
$z = 7 – 2t$

نريد النقطة $(x, y, z)$ أن تكون قريبة من $(1,2,3)$، لذا نقوم بوضع:

$6 + 3t = 1$
$X + 2t = 2$
$7 – 2t = 3$

حل المعادلات يعطينا قيمة $t = -1$.

الآن نوجد النقطة على المستقيم التي تمثلها هذه القيمة:

$\text{نقطة} = \begin{pmatrix} 6 \\ X \\ 7 \end{pmatrix} + (-1) \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
$\text{نقطة} = \begin{pmatrix} 6 \\ X \\ 7 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$
$\text{نقطة} = \begin{pmatrix} 3 \\ X-2 \\ 9 \end{pmatrix}$

الآن، نوجد المسافة بين النقطة $(1,2,3)$ والنقطة $(3, X-2, 9)$ باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي:

$d = \sqrt{(3 – 1)^2 + (X – 2 – 2)^2 + (9 – 3)^2}$
$d = \sqrt{2^2 + (X – 4)^2 + 6^2}$
$d = \sqrt{4 + (X – 4)^2 + 36}$
$d = \sqrt{X^2 – 8X + 20}$

نعطي القيمة 7 للمسافة، لذا:

$7 = \sqrt{X^2 – 8X + 20}$

نربع الطرفين للتخلص من الجذر:

$49 = X^2 – 8X + 20$

نقوم بترتيب المعادلة الرباعية:

$X^2 – 8X + 20 – 49 = 0$
$X^2 – 8X – 29 = 0$

الآن نستخدم القانون العام لحساب المعادلات الرباعية:

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$, $b = -8$, و $c = -29$.

$X = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-29)}}{2 \cdot 1}$
$X = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 116}}{2}$
$X = \frac{8 \pm \sqrt{180}}{2}$
$X = \frac{8 \pm 6\sqrt{5}}{2}$
$X = 4 \pm 3\sqrt{5}$

وبما أننا نعرف أن $X$ لا يمكن أن تكون قيمة سالبة، فإننا نختار الحل الإيجابي:

$X = 4 + 3\sqrt{5}$

في هذه المسألة، نقوم بحساب المسافة بين نقطة وخط في الفضاء الثلاثي. لحل هذه المسألة، نستخدم مفهومات من الجبر الخطي والهندسة الفضائية.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. معادلات خطوط في الفضاء الثلاثي: استخدمنا معادلات لخط في الفضاء الثلاثي بصيغة نقطة واتجاه.
2. مسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي: استخدمنا معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي لحساب المسافة بين النقطة والخط.
3. القوانين الأساسية للجبر الخطي: استخدمنا القوانين الأساسية للجبر مثل الجمع والطرح وضرب الأعداد الحقيقية والعمليات على الجذور وحل المعادلات التربيعية.

أولاً، بدأنا بتحديد معادلات الخط والنقطة في الفضاء الثلاثي. ثم استخدمنا مفهوم معادلة المسافة بين نقطتين لحساب المسافة بين النقطة والخط.

بالنسبة للحل، بدأنا بتحديد نقطة على الخط بالقرب من النقطة المعطاة. ثم حسبنا المسافة بين هذه النقطة والنقطة المعطاة باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الثلاثي. بعد ذلك، قمنا بحل المعادلة الناتجة للحصول على قيمة المتغير المطلوب.

هذا النهج يستند إلى مفاهيم وأسس رياضية عميقة في الجبر والهندسة، ويسمح لنا بحل مسائل هندسية معقدة في الفضاء الثلاثي.