مسائل رياضيات

حساب المسافة بين مسارين لرجلين على حلبة سباق (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 07/02/2024
0

لنبدأ بإعادة صياغة المسألة بشكل مترجم:

رجل العقل الرشيد ورجل العقل غير الرشيد يقتنيان سيارات جديدة، ويقرران القيادة حول حلبتين سباق من الزمن t=0t = 0 إلى t=∞t = \infty. يقود رجل العقل الرشيد على المسار الذي يمكن تعبئته بالمعادلات التالية:

مواضيع ذات صلة
x=cos⁡t,y=sin⁡t,\begin{align*} x &= \cos t, \\ y &= \sin t, \end{align*}

أما رجل العقل غير الرشيد فهو يقود على المسار الذي يمكن تعبئته بالمعادلات التالية:

x=X+4cos⁡t2,y=2sin⁡t2.\begin{align*} x &= X + 4 \cos \frac{t}{\sqrt{2}}, \\ y &= 2 \sin \frac{t}{\sqrt{2}}. \end{align*}

إذا كانت AA نقطة على حلبة رجل العقل الرشيد، و BB نقطة على حلبة رجل العقل غير الرشيد، فما هي أقل مسافة ممكنة بين AA و BB؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 33−33\frac{\sqrt{33}-3}{3}، فما قيمة المتغير XX؟

الآن سنقوم بحل المسألة:

لحل المسألة، نحتاج إلى حساب الأقل مسافة بين النقطة AA على مسار رجل العقل الرشيد والنقطة BB على مسار رجل العقل غير الرشيد.

لنقم بتعبير مواقع النقطتين AA و BB بالمتغير tt. لنبدأ بموقع نقطة AA، فنعرف أنها تقع على المسار الذي يمثله:

xA=cos⁡t,yA=sin⁡tx_A = \cos t, \quad y_A = \sin t

أما بالنسبة للنقطة BB، فنعرف أنها تقع على المسار الذي يمثله:

xB=X+4cos⁡t2,yB=2sin⁡t2x_B = X + 4 \cos \frac{t}{\sqrt{2}}, \quad y_B = 2 \sin \frac{t}{\sqrt{2}}

المسافة بين النقطتين AA و BB تحسب بمسافة اليوروبيديان بينهما، والتي تمثل الجذر التربيعي لمجموع الفروق المربعة بين إحداثياتهما. لذا، نكتب المسافة بين AA و BB كالتالي:

d=(xB−xA)2+(yB−yA)2d = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}

الآن، نقوم بتعويض قيم xAx_A و yAy_A و xBx_B و yBy_B في المعادلة أعلاه:

d=(X+4cos⁡t2−cos⁡t)2+(2sin⁡t2−sin⁡t)2\begin{aligned} d &= \sqrt{\left(X + 4 \cos \frac{t}{\sqrt{2}} – \cos t\right)^2 + \left(2 \sin \frac{t}{\sqrt{2}} – \sin t\right)^2} \end{aligned}

لحل المسألة، نقوم بتوجيه الحسابات باتجاه تبسيط المعادلة والعثور على القيمة الأصغر للمسافة dd.

لكن لمعرفة قيمة المتغير XX، نحتاج إلى استخدام الإجابة المعطاة:

33−33=(X−4)2+4\frac{\sqrt{33}-3}{3} = \sqrt{(X – 4)^2 + 4}

ومن هنا يمكننا حل المعادلة للحصول على قيمة XX.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، سنستخدم مفهوم المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي، وهو يستند إلى قانون في الهندسة الرياضية يعرف بمسافة اليوروبيديان. وهو يحتسب كالتالي: الجذر التربيعي لمجموع الفروق المربعة بين إحداثيات النقطتين.

القوانين المستخدمة في الحل:

  1. مسافة اليوروبيديان (Euclidean Distance): هذه القاعدة تُستخدم لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي. إذا كانت (x1,y1)(x_1, y_1) و (x2,y2)(x_2, y_2) نقطتان في الفضاء، فإن المسافة بينهما تُحسب باستخدام العلاقة:
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}

باستخدام هذه القاعدة، يمكننا حساب المسافة بين نقطتين على المسارات التي يقودها كل من رجل العقل الرشيد ورجل العقل غير الرشيد.

  1. الجيومتريا الكائنية: هذا المفهوم يستخدم لفهم تمثيل الأشكال والأجسام في الفضاء وكيفية تحريكها وتغيير شكلها. يتيح هذا المفهوم استخدام المعادلات الهندسية لوصف الحركة والمواقع في الفضاء.

الآن، نأخذ هذه القوانين ونطبقها على المسألة:

  1. نستخدم مسافة اليوروبيديان لحساب المسافة بين نقطتين على المسارات التي يقودها رجل العقل الرشيد ورجل العقل غير الرشيد.
  2. نستخدم المعادلات الهندسية لوصف مواقع نقاط الانطلاق على المسارات.

ثم، نقوم بتبسيط المعادلات وحساب المسافات للعثور على أقل مسافة ممكنة بين النقطتين AA و BB.

باستخدام المعلومات المعطاة في المسألة، بما في ذلك الإجابة المعطاة 33−33\frac{\sqrt{33}-3}{3}، يمكننا حساب قيمة المتغير XX باستخدام المعادلات المتاحة في المسألة وحلها بشكل صحيح.

اخر تحديث 07/02/2024
0