حساب المسافة بين مركزي النظر للإليبس (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
العثور على المسافة بين مركزي النظر للقطع الناقصة $x^2 + 4y^2 = X$. إذا كان الجواب على السؤال أعلاه هو $20\sqrt{3}$، فما هو قيمة المتغير المجهول $X$؟

الحل:
لحل هذه المسألة، يجب علينا أولاً التعرف على خصائص القطعة الناقصة. القطعة الناقصة هي إليبس، والتي يكون معادلتها العامة على شكل:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
حيث $a$ و $b$ هما نصف أطوال محاور الإليبس.

من المعادلة المعطاة $x^2 + 4y^2 = X$، يمكننا ملاحظة أن قيمة $a^2$ هي $X$ وقيمة $b^2$ هي $\frac{X}{4}$.

الآن، نحتاج إلى حساب الفرق بين مركزي النظر للإليبس، والذي يمثله بالترتيب النقطتين $(\pm c, 0)$. حيث تُعطى قيمة $c$ بواسطة العلاقة:
$c = \sqrt{a^2 – b^2}$
لذا:
$c = \sqrt{X – \frac{X}{4}} = \sqrt{\frac{3X}{4}}$

الآن، نعلم أن الفرق بين مركزي النظر هو $2c$. ولكن، وفقًا للسؤال، هذا الفرق يساوي $20\sqrt{3}$.

إذاً:
$2c = 20\sqrt{3}$
$c = 10\sqrt{3}$

نستخدم العلاقة التالية لحساب $c$:
$c = \sqrt{\frac{3X}{4}} = 10\sqrt{3}$

بالتالي:
$\frac{3X}{4} = (10\sqrt{3})^2$
$\frac{3X}{4} = 300$
$X = \frac{4 \times 300}{3} = 400$

إذاً، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 400.

لحل المسألة التي تتعلق بالعثور على المسافة بين مركزي النظر للإليبس، يجب أن نتبع الخطوات التالية ونستخدم القوانين الهندسية والجبرية:

1. تعريف الإليبس: إليبس هو نوع من المنحنيات الهندسية التي تمثل مجموعة النقاط التي مجموع مسافاتها من نقطتين ثابتتين (مراكز النظر) متساويًا.

2. معادلة الإليبس: في الحالة العامة، معادلة الإليبس تكون على شكل:
   $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$
   حيث $a$ و $b$ هما نصف أطوال محاور الإليبس.

3. العلاقة بين مراكز النظر ومحاور الإليبس: يكون موقع مركزي النظر على محور $x$ عند $(\pm c, 0)$، حيث $c$ هو المسافة بين مركز النظر ومركز الإليبس.

4. العلاقة بين مراكز النظر ومعادلة الإليبس: المسافة بين مراكز النظر ومعادلة الإليبس تُعطى بواسطة العلاقة التالية:
   $c = \sqrt{a^2 – b^2}$

5. حساب المسافة بين مركزي النظر: لحساب المسافة بين مركزي النظر، نحتاج إلى ضرب مسافة مركز النظر من مركز الإليبس في 2.

الآن، بالنظر إلى المسألة التي قدمتها، لدينا المعادلة:
$x^2 + 4y^2 = X$
ونريد حساب قيمة $X$ عندما تكون المسافة بين مركزي النظر تساوي $20\sqrt{3}$.

نحتاج إلى استخدام العلاقة بين مراكز النظر ومعادلة الإليبس، ومن ثم حل المعادلة الناتجة للحصول على قيمة $X$.

بعد الخطوات السابقة واستخدام العلاقات الهندسية والجبرية، وبعد الحسابات اللازمة، نصل إلى قيمة $X = 400$ كما تم ذكرها في الحل السابق.