حساب المسافة بين متسابقين بسرعات مختلفة (مسألة رياضيات)

في ريف مستو، ينطلق متسابقان في نفس الوقت من تقاطع طريقين ريفيين. يجري أحد المتسابقين نحو الشمال بسرعة ثابتة تبلغ 8 أميال في الساعة، بينما يجري المتسابق الآخر نحو الشرق بسرعة ثابتة تزيد بمقدار 8 أميال في الساعة عن سرعة الأول. كم يبعدان عن بعضهما بعد نصف ساعة؟

لنقم بحساب المسافة بين المتسابقين بعد نصف ساعة. لدينا متسابق يسير نحو الشمال بسرعة 8 أميال في الساعة، ومتسابق آخر يسير نحو الشرق بسرعة تبلغ 8 + 8 = 16 أميال في الساعة.

لحساب المسافة بينهما، سنستخدم مبدأ المثلث القائم. يكون المسار الذي يسلكه المتسابق الشمالي هو قاطع للمسار الذي يسلكه المتسابق الشرقي، ويتكون المثلث الذي يشكلونه مع الخط الرأسي (الشمال) والخط الأفقي (الشرق) من زاوية قائمة.

نستخدم قانون فيثاغورس لحساب طول الضلع الثالث (المسافة بين المتسابقين):
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

حيث $a$ و $b$ هما الأضلاع المتجاورتان للمثلث، و$c$ هو الوتر (الضلع الذي يقابل الزاوية القائمة). في هذه الحالة:
$c = \sqrt{8^2 + 16^2}$
$c = \sqrt{64 + 256}$
$c = \sqrt{320}$
$c \approx 17.89$

إذاً، بعد نصف ساعة، سيكون المتسابقان منفصلين بمسافة تقريبية تبلغ 17.89 ميل.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مبدأ المثلث القائم وقانون فيثاغورث. هذه الأدوات الرياضية ستمكننا من حساب المسافة بين المتسابقين بناءً على معلومات السرعة والزمن.

للبداية، لنرمز لسرعة المتسابق الذي يجري نحو الشمال بـ $v$ ميل في الساعة. وفقًا للمعطيات، سرعة المتسابق الذي يجري نحو الشرق ستكون $v + 8$ ميل في الساعة، حيث أنها أسرع بمقدار 8 ميل في الساعة من الأول.

المسافة يمكن حسابها باستخدام العلاقة التالية:

$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

وفي هذه الحالة، سيكون الزمن هو 1/2 ساعة.

السرعة الشمالية $v$ تعطينا المسافة الشمالية بواسطة:

$\text{المسافة الشمالية} = v \times \frac{1}{2}$

السرعة الشرقية $v + 8$ تعطينا المسافة الشرقية بواسطة:

$\text{المسافة الشرقية} = (v + 8) \times \frac{1}{2}$

ثم، باستخدام قانون فيثاغورث، يمكننا حساب المسافة بين المتسابقين ($c$) كالتالي:

$c = \sqrt{\text{المسافة الشمالية}^2 + \text{المسافة الشرقية}^2}$

وبتعويض القيم المستنتجة من المعطيات، يمكننا الحصول على قيمة $c$ كالتالي:

$c = \sqrt{\left(v \times \frac{1}{2}\right)^2 + \left((v + 8) \times \frac{1}{2}\right)^2}$

$c = \sqrt{\left(\frac{v^2}{4}\right) + \left(\frac{(v + 8)^2}{4}\right)}$

$c = \sqrt{\frac{v^2 + (v + 8)^2}{4}}$

$c = \sqrt{\frac{2v^2 + 16v + 64}{4}}$

$c = \sqrt{\frac{v^2 + 8v + 32}{2}}$

وهذه هي الصيغة التي سنستخدمها لحساب المسافة ($c$). يمكن استخدام أسلوب التبسيط والتعويض للحصول على قيمة محددة للمسافة بين المتسابقين بعد نصف ساعة.