حساب المسافة إلى دائرة رياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي حساب المسافة القصيرة بين الأصل (نقطة (0,0)) والدائرة المحددة بالمعادلة التالية: $x^2-24x +y^2+10y +160=0$.

لحساب الحل، يمكننا القيام بعدة خطوات. أولاً، نقوم بإكمال مربعي المتغيرات في المعادلة لتسهيل العملية. ثم نحاول تمثيل المعادلة كمتوسط لمعادلة دائرة بالصيغة القياسية.

المعادلة بعد إكمال المربعين تصبح: $(x-12)^2 + (y+5)^2 = 3$.

تظهر هذه المعادلة أن مركز الدائرة يكون عند نقطة $(12, -5)$، ونصف قطر الدائرة يكون $\sqrt{3}$.

الآن، يمكننا استخدام معرفتنا بأن المسافة بين نقطتين في الفضاء تكون ناتج جذر فارق مربعات إحداثيات النقطتين. بالتالي، المسافة بين الأصل ومركز الدائرة هي:

وبما أن نصف قطر الدائرة هو $\sqrt{3}$، يمكننا استخدام مبدأ البيثاغورس لحساب المسافة من مركز الدائرة إلى الحافة:

إذاً، الإجابة النهائية هي أن أقصر مسافة من الأصل إلى الدائرة هي $\sqrt{166}$.

لحساب الأقصر مسافة من النقطة الأصل (0,0) إلى الدائرة المحددة بالمعادلة $x^2-24x +y^2+10y +160=0$، يمكننا اتباع عدة خطوات واستخدام بعض القوانين الرياضية.

الخطوة 1: إكمال المربعين
نبدأ بإكمال مربعي المتغيرات في المعادلة. يتيح ذلك لنا التعبير عن المعادلة بشكل متجانس، وبالتالي يسهل العمل معها.

المعادلة بعد الإكمال تكون:
$(x-12)^2 + (y+5)^2 = 3.$

الخطوة 2: التعبير عن الدائرة بصيغة قياسية
تستند الدائرة إلى المعادلة القياسية $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$، حيث (a،b) هي إحداثيات مركز الدائرة، و $r$ هو نصف قطرها. في حالتنا، يكون مركز الدائرة عند (12، -5) ونصف قطرها $\sqrt{3}$.

الخطوة 3: حساب المسافة من الأصل إلى مركز الدائرة
باستخدام قاعدة مسافة بين نقطتين في الفضاء، نقوم بحساب المسافة بين النقطة الأصل (0،0) ومركز الدائرة (12،-5) باستخدام مبدأ البيثاغورس:

$d = \sqrt{(12-0)^2 + (-5-0)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.$

الخطوة 4: حساب المسافة من مركز الدائرة إلى حافة الدائرة
نستخدم مبدأ البيثاغورس مرة أخرى لحساب المسافة من مركز الدائرة إلى حافة الدائرة. نصف قطر الدائرة هو $\sqrt{3}$، لذا المسافة تكون:

$d’ = \sqrt{13^2 – (\sqrt{3})^2} = \sqrt{169 – 3} = \sqrt{166}.$

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة مسافة بين نقطتين في الفضاء:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}.$

2. مبدأ البيثاغورس:
   $c = \sqrt{a^2 + b^2}.$

3. صيغة المعادلة الدائرية بصيغة قياسية:
   $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.$

بهذه الطريقة، نكون قد حسبنا الأقصر مسافة من النقطة الأصل إلى الدائرة وقدمنا شرحاً مفصلاً يستند إلى القوانين الرياضية.