حساب المسافات في الخرائط: درس حول نسبة المقياس (مسألة رياضيات)

على الخريطة، يبلغ المسافة بين جبلين 312 إنشًا. في الواقع، تبلغ المسافة الفعلية بين الجبلين 136 كيلومترًا. رام يعسكر في موقع يبلغ على الخريطة 34 إنشًا من قاعدة الجبل. ما هي المسافة بالكيلومتر بينه وبين قاعدة الجبل؟

لحساب المسافة بالكيلومتر بين رام وقاعدة الجبل، يمكننا استخدام نسبة المسافة على الخريطة إلى المسافة الفعلية. يتمثل ذلك في تقسيم المسافة على الخريطة على المقياس الفعلي. في هذه الحالة:

$مقياس الخريطة = \frac{المسافة على الخريطة}{المسافة الفعلية}$

نعلم أن المسافة على الخريطة بين الجبلين تبلغ 312 إنشًا، والمسافة الفعلية بينهما هي 136 كيلومترًا. لنجد المقياس، نقوم بالقسمة:

$مقياس الخريطة = \frac{312\,إنش}{136\,كيلومتر}$

الآن، لنحسب المسافة الفعلية من رام إلى قاعدة الجبل على الأرض. نستخدم المقياس الذي حسبناه للتحويل بين الوحدتين:

$المسافة الفعلية = مقياس الخريطة \times المسافة على الخريطة$

$المسافة الفعلية = \frac{312\,إنش}{136\,كيلومتر} \times 34\,إنش$

الآن، يمكننا حساب المسافة الفعلية بالكيلومتر:

$المسافة الفعلية = \frac{312 \times 34}{136}$

$المسافة الفعلية = \frac{10608}{136}$

$المسافة الفعلية ≈ 77.882 كيلومتر$

إذاً، رام على بُعد حوالي 77.882 كيلومترًا من قاعدة الجبل.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم نسبة المقياس في الخرائط وقانون النسبة. قبل أن نبدأ في الحل، دعونا نُعرِّف بعض الرموز التي سنستخدمها:

$D_m$ = المسافة بين الجبلين على الخريطة (بالإنش)
$D_r$ = المسافة الفعلية بين الجبلين (بالكيلومتر)
$M$ = المقياس على الخريطة (بالإنش)
$D_{rm}$ = المسافة بين رام وقاعدة الجبل على الخريطة (بالإنش)
$D_{ra}$ = المسافة الفعلية بين رام وقاعدة الجبل (بالكيلومتر)

نستخدم القانون التالي:

$مقياس الخريطة = \frac{المسافة على الخريطة}{المسافة الفعلية}$

الآن، نقوم بتطبيق القانون:

$M = \frac{D_m}{D_r}$

من المعطيات في المسألة، $D_m = 312\,إنش$ و $D_r = 136\,كيلومتر$، لذا:

$M = \frac{312\,إنش}{136\,كيلومتر}$

الآن، نحسب القيمة:

$M = \frac{312}{136}$

$M ≈ 2.294\,إنش/كيلومتر$

الخطوة التالية هي حساب المسافة الفعلية بين رام وقاعدة الجبل ($D_{ra}$) باستخدام المقياس:

$D_{ra} = M \times D_{rm}$

من المعطيات، $D_{rm} = 34\,إنش$، لذا:

$D_{ra} = 2.294 \times 34$

$D_{ra} ≈ 77.996\,كيلومتر$

إذاً، يكون رام على بُعد حوالي 77.996 كيلومترًا من قاعدة الجبل.

القوانين المستخدمة في الحل هي قانون النسبة في المثلثات المتشابهة، وهو القانون الذي ينظم العلاقة بين المقياس والمسافة الفعلية والمسافة على الخريطة.