حساب المساحة بشروط رياضية معقدة (مسألة رياضيات)

نرغب في حساب مساحة المنطقة التي يمكن وصفها باستخدام الشروط التالية: $x \ge 0,\ y \ge x$ و
$100 \{x\} \ge \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor.$

أولاً، دعونا نعيد صياغة الشروط بشكل أكثر وضوحاً. الشرط $x \ge 0$ يشير إلى أننا نعتبر فقط القيم الإيجابية للمتغير $x$. الشرط الثاني $y \ge x$ يفيد أن قيمة $y$ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي قيمة $x$. أما الشرط الثالث $100 \{x\} \ge \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor,$ فيعبر عن علاقة بين الأجزاء الصحيحة والكسرية للعدد $x$.

لحساب مساحة هذه المنطقة، يمكننا بدأ بتحليل الشروط. عندما نقول $x \ge 0$، فإننا نعتبر القيم الموجبة لـ $x$. الشرط الثاني يفيد بأن $y$ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي $x$، وهذا يشير إلى منطقة تقع فوق خط $y=x$ في الربع الأول.

الشرط الثالث يعبر عن علاقة بين الأجزاء الصحيحة والكسرية للعدد $x$. يمكننا كتابة $x$ كمجموعة من الجزء الصحيح والجزء الكسري: $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$. بعد استبدال $x$ في الشرط الثالث، نحصل على
$100 \{x\} \ge \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor.$

الآن دعونا نفحص كل من الجزء الصحيح والجزء الكسري للعدد $x$. بالنظر إلى الجزء الكسري $\{x\}$، نرى أنه يتحكم في العلاقة. حيث أن الشرط يحدد أن القيمة المؤثرة هي الكسر الذي يشير إلى الجزء الكسري لـ $x$.

إذا كان $\{x\} = 0$، فإن الشرط يتحول إلى $0 \ge \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$. هذا يعني أن $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le 0$. لكننا نعلم أن $\lfloor x \rfloor$ هو عدد صحيح غير سالب (بسبب الدالة الصحيحة $\lfloor \cdot \rfloor$)، لذا $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ لا يمكن أن يكون أقل من 0.

لذلك نستنتج أن $\{x\} > 0$. عندما نأخذ الجزء الكسري للعدد $x$، نجد أن $0 < \{x\} < 1$. بالتالي، يمكننا كتابة الشرط الثالث على النحو التالي:
$100 \{x\} = 100(\{x\}) > \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor.$

لنقم بتفكيك هذا الشرط أكثر، يمكننا كتابته على النحو التالي:
$100(\{x\}) > \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \implies 100\{x\} – \lfloor x \rfloor > \lfloor y \rfloor.$

الآن نلاحظ أن $\lfloor x \rfloor$ هو عدد صحيح، لذا $100\{x\} – \lfloor x \rfloor$ هو عبارة عن عدد حقيقي بين 0 و 100 (حيث أن $\{x\}$ هو عدد حقيقي بين 0 و 1). لذا، نستنتج أن $\lfloor y \rfloor$ يجب أن يكون أقل من هذا الفرق.

لكننا نعلم أن $\lfloor y \rfloor$ هو عدد صحيح، لذا يجب أن يكون $\lfloor y \rfloor \le 100\{x\} – \lfloor x \rfloor$. نستنتج أنه يجب أن تكون قيمة $\lfloor y \rfloor$ بين $\lfloor x \rfloor$ و $100\{x\} – 1$.

الآن نحن نفهم الشروط المطلوبة للمساحة المطلوبة. يجب أن يكون $x \ge 0$ و $y \ge x$، وفي نفس الوقت، يجب أن تكون $\lfloor y \rfloor$ بين (\lfloor x \

لحساب مساحة المنطقة المطلوبة، نبدأ بفهم الشروط المطلوبة:

1. $x \ge 0$: هذا يعني أننا نعتبر قيمًا إيجابية لـ $x$.

2. $y \ge x$: يفرض هذا الشرط أن قيمة $y$ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي قيمة $x$.

3. $100 \{x\} > \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$: هذا الشرط يرتبط بالعلاقة بين الأجزاء الكسرية والصحيحة للعدد $x$. عندما نكتب $x$ كمجموعة من الجزء الصحيح والجزء الكسري ($x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$)، نجد أن القيمة المؤثرة هي الكسر الذي يعبر عن الجزء الكسري لـ $x$.

نحاول الآن توضيح الفرضيات المهمة التي سنستند إليها في الحل:

أ. إذا كان $x$ عددًا صحيحًا، فإن الجزء الكسري $\{x\}$ يكون صفرًا. وبما أن $100 \cdot 0 = 0$، يكون الشرط الثالث مستوفيًا تلقائيًا، ويكون لدينا $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \le 0$. ولكن لاحظ أن هذه الحالة لا تفيدنا بشكل كبير في حساب المنطقة.

ب. إذا كان $\{x\} > 0$ (حيث $\{x\}$ هو الجزء الكسري لـ $x$)، يمكننا كتابة الشرط الثالث على النحو التالي:
$100\{x\} – \lfloor x \rfloor > \lfloor y \rfloor.$
وبما أن $\lfloor x \rfloor$ هو عدد صحيح، يكون الفرق $100\{x\} – \lfloor x \rfloor$ هو عدد حقيقي بين 0 و 100.

ج. من الشرط $y \ge x$، يمكننا أيضًا كتابة $\lfloor y \rfloor \ge \lfloor x \rfloor$. لذلك يجب أن يكون $\lfloor y \rfloor$ أكبر من أو يساوي 0، ويقل عن 100.

الآن، لنحسب المنطقة:

عندما نعتبر $\lfloor x \rfloor$، يمكن أن تكون قيمه ما بين 0 و 99. لكل قيمة ممكنة لـ $\lfloor x \rfloor$، يمكن أن تتغير قيم $\lfloor y \rfloor$ من $\lfloor x \rfloor$ إلى 99.

بما أن $\lfloor y \rfloor$ يكون صحيحًا وأقل من 100، يمكننا إجراء الجمع من $\lfloor x \rfloor$ إلى 99 للحصول على إجمالي القيم الممكنة لـ $\lfloor y \rfloor$.

$0 + 1 + 2 + \ldots + 99 = \frac{99 \cdot 100}{2} = 4950.$

إذا كانت مساحة المنطقة المطلوبة هي 1717، نحسب قيمة المتغير X بمقارنة النسبة بين المنطقة الكلية الممكنة والقيمة المعطاة:

$\frac{1717}{4950} \times 100 = 34.747.$

لذا، قيمة المتغير X تقريبًا تكون 34.747.