حساب المحدد في المصفوفات: مثال وتطبيق (مسألة رياضيات)

إذا كانت قيمة المُحدد (المُعين) للمصفوفة $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ تساوي 5، فما هي قيمة المُحدد للمصفوفة $\begin{vmatrix} a – c & b – d \ c & d \end{vmatrix}$؟

لنقم بحساب قيمة المُحدد للمصفوفة الثانية. لنأخذ المصفوفة:

يُعطينا ذلك المعادلة:

نقوم بحل العبارة أعلاه باستخدام قاعدة الضرب للمصفوفات:

نقوم بتبسيط العبارة:

نلاحظ أن مصفوفة المحدد الثانية تُبسط إلى:

نلاحظ أيضًا أن بعض العناصر تُلغي بعضها البعض، مما يترتب عنه:

هذا هو المحدد للمصفوفة الثانية. ومن المعروف أن قيمة المُحدد للمصفوفة الأصلية تساوي 5. إذًا، يكون لدينا:

بهذا يتم تحديد القيمة التي تمثل المحدد للمصفوفة الثانية.

لحل هذه المسألة، نستخدم المفهوم الأساسي لحساب المحدد (ال Determinant) في الجبر الخطي، والذي يعبر عن خاصية مهمة للمصفوفات. المحدد هو قيمة رقمية تعبر عن خصائص معينة للمصفوفة. هذه المسألة تتطلب استخدام خاصية المحدد في مصفوفة 2×2.

المصفوفة الأصلية:

تحسب المحدد لهذه المصفوفة كالتالي:

وهنا تستخدم قاعدة الضرب في المصفوفات. يتم ضرب العناصر الرئيسية (فوق الطريق الرئيسي) والفرعية (تحت الطريق الرئيسي)، ثم يتم خصم ناتج ضرب العناصر الفرعية من ناتج ضرب العناصر الرئيسية.

في هذه المسألة، المحدد الأصلي هو 5، أي $ad – bc = 5$.

الآن، نقوم بتحويل المصفوفة الأصلية إلى المصفوفة الثانية:

نحسب المحدد للمصفوفة الثانية باستخدام نفس القاعدة:

بملاحظة أن بعض العناصر تلغي بعضها البعض، نحصل على:

وهو المحدد للمصفوفة الثانية. ومن المعطيات نعلم أن هذا المحدد يساوي 5.

القانون المستخدم هو قانون حساب المحدد للمصفوفة 2×2، الذي يتمثل في ضرب العناصر الرئيسية وخصم ضرب العناصر الفرعية.

بما أن المحدد للمصفوفتين هو نفسه، فإن قيمة المحدد للمصفوفة الثانية هي أيضًا 5.