حساب المتوسط والوسيط بالأعداد (مسألة رياضيات)

المسألة:

إذا كان $m$ هو المتوسط الحسابي لأول 10 أضعاف موجبة للعدد 3، وكان $m$ هو الوسيط لأول 10 أضعاف موجبة للعدد 3، ما هو قيمة $m – m$؟

الحل:

لحساب المتوسط الحسابي ($m$)، يمكننا جمع الأعداد العشرة الأولى من الأضعاف الموجبة للعدد 3 وقسمتها على عددها:

$m = \frac{3 + 6 + 9 + \ldots + 30}{10}$

للوصول إلى الوسيط ($m$)، يجب علينا ترتيب الأعداد بترتيب تصاعدي واختيار الوسيط منتصف السلسلة:

$m = \frac{15 + 18}{2}$

الآن، يمكننا حساب قيمة $m – m$ كالتالي:

$m – m = \left(\frac{3 + 6 + 9 + \ldots + 30}{10}\right) – \left(\frac{15 + 18}{2}\right)$

لتبسيط هذا التعبير، يمكننا ضرب الجزء الأول من المعادلة في 2 للتخلص من المقام في الجزء الثاني:

$m – m = \frac{2(3 + 6 + 9 + \ldots + 30) – (15 + 18)}{20}$

الآن يمكننا حساب المجموع:

$m – m = \frac{2(3 + 6 + 9 + \ldots + 30) – 33}{20}$

$m – m = \frac{2(3 + 6 + 9 + \ldots + 30) – 33}{20} = \frac{2(3 + 6 + 9 + \ldots + 30) – 33}{20}$

يمكننا استخدام صيغة المجموع الحسابي للناتج:

$m – m = \frac{2 \times \frac{10}{2}(3 + 30) – 33}{20}$

$m – m = \frac{10(33) – 33}{20}$

$m – m = \frac{330 – 33}{20}$

$m – m = \frac{297}{20}$

إذا كانت الإجابة المطلوبة هي $\frac{297}{20}$.

حل المسألة:

لحساب المتوسط الحسابي ($m$)، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول إن المتوسط الحسابي يُحسب بجمع الأعداد وتقسيم الناتج على عددها. لذا، نقوم بجمع الأعداد العشرة الأولى من الأضعاف الموجبة للعدد 3:

$m = \frac{3 + 6 + 9 + \ldots + 30}{10}$

نستخدم هنا قاعدة المتوسط الحسابي.

ثم، لحساب الوسيط ($m$)، نقوم بترتيب الأعداد بترتيب تصاعدي ونحسب المتوسط بين القيمتين الوسطيتين:

$m = \frac{15 + 18}{2}$

هنا نستخدم قاعدة حساب الوسيط.

الآن، لحساب $m – m$، نقوم بطرح القيمتين:

$m – m = \left(\frac{3 + 6 + 9 + \ldots + 30}{10}\right) – \left(\frac{15 + 18}{2}\right)$

ثم، لتبسيط التعبير، نستخدم الضرب للتخلص من المقام في الجزء الثاني:

$m – m = \frac{2(3 + 6 + 9 + \ldots + 30) – (15 + 18)}{20}$

هنا نستخدم قاعدة توسيع المضاعف.

ثم، نستخدم صيغة المجموع الحسابي للناتج:

$m – m = \frac{2 \times \frac{10}{2}(3 + 30) – 33}{20}$

هنا نستخدم قاعدة المجموع الحسابي.

أخيرًا، نقوم بحساب الناتج النهائي:

$m – m = \frac{10(33) – 33}{20} = \frac{330 – 33}{20} = \frac{297}{20}$

قوانين وصيغ المستخدمة:

1. المتوسط الحسابي:
   $\text{المتوسط الحسابي} = \frac{\text{مجموع الأعداد}}{\text{عددها}}$

2. حساب الوسيط:
   $\text{الوسيط} = \frac{\text{القيمة الوسطية}}{2}$

3. توسيع المضاعف:
   $a + a + \ldots + a = n \times a$

4. المجموع الحسابي:
   $\text{مجموع الأعداد} = \frac{n}{2} \times (\text{أول عدد} + \text{آخر عدد})$

تم استخدام هذه القوانين والصيغ لحل المسألة والوصول إلى الناتج النهائي $\frac{297}{20}$.