حساب المتغير X باستخدام لوغاريتمات العددية (مسألة رياضيات)

المسألة الحسابية هي كما يلي:

لحساب العدد الصحيح $k > 2$ الذي يحقق المعادلة:
$\log_{10} (k – 2)! + \log_{10} (k – 1)! + 2 = X \log_{10} k!$

الإجابة هي 5، وسنقوم الآن بحساب قيمة المتغير المجهول $X$.

للقيام بذلك، يمكننا تجسيد المعادلة والعمل على تبسيطها. لنفعل ذلك، سنستخدم خاصية اللوغاريتم لجمع الأسس:
$\log_{10} (k – 2)! + \log_{10} (k – 1)! + 2 = \log_{10} [(k – 2)! \cdot (k – 1)! \cdot 10^2]$

الآن، بما أننا نريد أن نمثل ذلك في صورة تتضمن $k!$، فلنقم بذلك باستخدام خاصية اللوغاريتم وقاعدة الأس:
$\log_{10} [(k – 2)! \cdot (k – 1)! \cdot 10^2] = \log_{10} (k!) + \log_{10} (k!) + \log_{10} 100$
$= \log_{10} (k!) + \log_{10} (k!) + 2$

وبما أننا نعلم أن العدد الصحيح $k$ الذي يحقق الإجابة هو 5، نستطيع البساطة استبدال قيمة $k$ في المعادلة. لذلك:
$X = 2 + \log_{10} 5! + \log_{10} 5! + 2$

الآن، نحسب قيمة $\log_{10} 5!$ باستخدام قاعدة اللوغاريتم:
$\log_{10} 5! = \log_{10} (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = \log_{10} 120$

إذاً:
$X = 2 + \log_{10} 120 + \log_{10} 120 + 2$

ونقوم بحساب قيمة هذا التعبير للوصول إلى القيمة النهائية للمتغير $X$.

لحل المسألة وحساب قيمة المتغير $X$، سنبدأ بتجسيد المعادلة وتبسيطها باستخدام بعض القوانين اللوغاريتمية:

المعادلة الأصلية:
$\log_{10} (k – 2)! + \log_{10} (k – 1)! + 2 = X \log_{10} k!$

نستخدم خاصية اللوغاريتم لجمع الأسس:
$\log_{10} (k – 2)! + \log_{10} (k – 1)! + 2 = \log_{10} [(k – 2)! \cdot (k – 1)! \cdot 10^2]$

ثم نستخدم قاعدة الأس للتحويل:
$\log_{10} [(k – 2)! \cdot (k – 1)! \cdot 10^2] = \log_{10} (k!) + \log_{10} (k!) + \log_{10} 100$

وبما أننا نعلم أن الإجابة الصحيحة هي $k = 5$، نستبدل قيمة $k$ في المعادلة:
$X = \log_{10} 5! + \log_{10} 5! + 2$

نستخدم الآن قاعدة اللوغاريتم للضرب:
$\log_{10} 5! = \log_{10} (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1) = \log_{10} 120$

إذاً، يصبح التعبير:
$X = \log_{10} 120 + \log_{10} 120 + 2$

نحسب القيمة النهائية باستخدام الآلة الحاسبة أو العمليات الحسابية:
$X \approx 2 + 2.081 + 2 = 6.081$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قاعدة اللوغاريتم لجمع الأسس:
   $\log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (bc)$

2. قاعدة اللوغاريتم لتحويل الأس:
   $\log_a (b^n) = n \cdot \log_a (b)$

3. قاعدة اللوغاريتم للضرب:
   $\log_a (bc) = \log_a (b) + \log_a (c)$

4. حساب قيمة لوغاريتم للأعداد:
   $\log_a (x) = y \implies a^y = x$

تم استخدام هذه القوانين لتبسيط المعادلة وحساب قيمة المتغير $X$.